Attracteur

Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, cinq types d'attracteurs sont définis : ponctuel, ponctuel périodique, périodique, étrange, spatial.

Sommaire

Définition

Article détaillé : Flot (mathématiques).

Soit E un espace de Banach muni d'une mesure, Ω un ouvert de E et x' f(x) une équation différentielle autonome telle que f soit une fonction de Ω dans E localement lipschitzienne. L'équation différentielle définit ainsi un flot unique et continu[1]. Si x est un élément de Ω, ω(x) désigne l'ensemble ω-limite de l'orbite de x et α(x) son ensemble α-limite. Les termes de flot, orbite, ensembles ω-limite et α-limite sont explicités dans l'article détaillé.

L'attracteur futur est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles ω(x) si x décrit Ω, à l'exception, peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles α-limite[2].

Une définition

Des travaux actuels[3],[4] de tentative de classification générale des systèmes dynamique sur une variété compacte font référence à la définition suivante[5] :

Un attracteur est un compact invariant Ω dont un des points est d'orbite dense dans Ω et tel que son bassin, c'est-à-dire l'ensemble des points de l'espace dynamique dont l'ensemble ω-limite est inclus dans Ω, est de mesure de Lebesgue positive.

Intérêt

Il n'est pas toujours possible de calculer finement le comportement d'un système composé d'un très grand nombre d'éléments qui interagissent (par exemple un plasma), mais si on arrive à en déterminer un attracteur, on pourra dans une certaine mesure traiter le problème en travaillant sur celui-ci. Cette méthode se montre utile, en ce qui concerne les plasmas, dans les calculs de confinement des tokamaks.

Quelques attracteurs spécifiques expliquent aussi des cas de passage d'un état chaotique à un état ordonné, comme c'est le cas pour la fourmi de Langton ou pour les Planeur dans le jeu de la vie de Conway. En règle générale, la connaissance des attracteurs permet de savoir partiellement (c’est-à-dire ici au moins statistiquement) ce qui va émerger du chaos, alors que la connaissance des éléments individuels du système chaotique n'y aide pas particulièrement.

Annexes

Bibliographie

Notes et références

  1. Cette propriété est démontrée dans l'article détaillé
  2. Tewfik Sari Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique, in Géométries et Dynamiques, Khaled Sadallah et Abdelghai Zeghib (éditeurs), Hermann, Travaux en Cours 70 (2008) 259-274 (page 264).
  3. http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf
  4. A Global View of Dynamics and a Conjecture on the Denseness of Finitude of Attractors. Jacob Palis. Astérisque. França: , v.261, p.339 - 351, 2000.
  5. Qui est à l'origine de cette définition ?

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Attracteur de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • attracteur — attracteur, trice [ atraktɶr, tris ] adj. • XVIe; du lat. attractum ♦ Chim. Effet attracteur d un groupement, sa propriété d attirer d autres groupements ou radicaux dans une combinaison chimique. ● attracteur nom masculin Mathématique et… …   Encyclopédie Universelle

  • attracteur — attracteur, trice (a tra kteur, tri s ) adj. Qui agit par attraction, qui exerce une attraction. ÉTYMOLOGIE    Supin attractum, de attrahere (voy. attraire) …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Attracteur De Hénon — pour a = 1,4 etb = 0,3 L attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C est l un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de Henon — Attracteur de Hénon attracteur de Hénon pour a = 1,4 etb = 0,3 L attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C est l un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L attracteur de Hénon prend tout… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de Rossler — Attracteur de Rössler L attracteur de Rössler L attracteur de Rössler est l attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de 3 équations différentielles non linéaires. Ces équations différentielles définissent un système… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de hénon — pour a = 1,4 etb = 0,3 L attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C est l un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de Hénon — pour a = 1,4 etb = 0,3 L attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C est l un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) et lui associe… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur De Lorentz — Attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz, baptisé d après son découvreur Edward Lorenz, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l oscillateur de Lorenz. Cet oscillateur est un système… …   Wikipédia en Français

  • Attracteur De Lorenz — L attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz, baptisé d après son découvreur Edward Lorenz, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l oscillateur de Lorenz. Cet oscillateur est un système dynamique tridimensionel …   Wikipédia en Français

  • Attracteur de lorenz — L attracteur de Lorenz L attracteur de Lorenz, baptisé d après son découvreur Edward Lorenz, est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l oscillateur de Lorenz. Cet oscillateur est un système dynamique tridimensionel …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”