Nombre palindrome

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Un nombre palindrome est un nombre symétrique écrit dans une certaine base a comme ceci : $a_1 a_2 a_3 \cdots|\cdots a_3 a_2 a_1\,$.

Tous les nombres en base 10 d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999} et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 10⁴. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 10⁵ et pour les autres exposants de 10ⁿ, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999, ... Encyclopédie électronique des suites entières (id=A070199). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

	101	102	103	104	105	106	107	108	109	1010
n naturel	9	90		199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n pair	5	9	49	89	489	+	+	+	+	+
n impair	5	10	60	110	610	+	+	+	+	+
n carré parfait	3		6		13	14	19		+	+
n premier	4	5	20		113		781		5953
n sans carré	6	12	67	120	675	+	+	+	+	+
n avec carré (μ(n)=0)	3	6	41	78	423	+	+	+	+	+
n carré avec racine première	2		3		5
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1)	2	6	35	56	324	+	+	+	+	+
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1)	5	7	33	65	352	+	+	+	+	+
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts	1	2	9	21	100	+	+	+	+	+
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers	0	1	12	37	204	+	+	+	+	+
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts	0	0	4	24	139	+	+	+	+	+
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts	1	2	11	15	98	+	+	+	+	+
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts	1	4	24	41	226	+	+	+	+	+
n impair avec exactement deux facteurs premiers	1	4	25	39	205	+	+	+	+	+
n pair avec exactement deux facteurs premiers	2	3	11		64	+	+	+	+	+
n pair avec exactement trois facteurs premiers	1	3	14	24	122	+	+	+	+	+
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers	0	1	12	34	173	+	+	+	+	+
n nombre de Carmichaël	0	0	0	0	0	1+	+	+	+	+
n pour lequel σ(n) est palindrome	6	10	47	114	688	+	+	+	+	+
en ajouter plus

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes nombres de Schéhérazade dans son livre « Synergetics », puisque Schéhérazade était le nom de la femme qui narrait les « 1001 nuits ».

Des additions ayant un palindrome pour résultat

Prenez un nombre au hasard. Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome. Autre exemple : 149 + 941 = 1090; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

On ne connait pas, bien que l'on en soupçonne l'existence, de nombres pour lesquels ce processus d'addition par le nombre symétrique ne donnerait pas de palindrome. De tels nombres sont appelés Nombre de Lychrel.

Des multiplications ayant un palindrome pour résultat

111.111.111 multiplié par 111.111.111 donne 12.345.678.987.654.321

Voir aussi

• Nombre premier palindrome
• Palindrome