Géométrie Arguésienne

Géométrie Arguésienne

Géométrie arguésienne

En géométrie synthétique, la géométrie arguésienne est une « construction » simple (due à Desargues), basée sur l'introduction d'éléments impropres, pour faire entrer la géométrie affine[1] (et le parallélisme) dans le moule de la géométrie projective.

Sommaire

Introduction

Le premier axiome de la géométrie projective énonce (entre autres) :

Deux droites coplanaires[2] ont un point commun.

En revanche, l'axiome du parallélisme de la géométrie affine (une formulation simplifiée de cinquième postulat de la géométrie d'Euclide) est :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Il semble donc que géométrie projective et géométrie affine sont inconciliables puisque par définition.

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et sans intersection.

En réalité, il n'en est rien.

Description

La géométrie arguésienne est un moyen de concilier géométrie affine et géométrie projective :

Parallèles

Desargues a redéfini la notion de parallélisme en introduisant les éléments impropres[3] : point impropre (assimilable au point de fuite), droite ou plan impropres. Il va de soi que les éléments d'une forme impropre sont impropres. La géométrie arguésienne se caractérise donc par la distinction d'éléments impropres. La définition du parallélisme devient :

Deux droites, deux plans, ou encore une droite et un plan sont parallèles lorsque leur intersection est impropre.

En géométrie projective (en géométrie elliptique également), il n'y pas de points impropres donc pas de parallélisme. En revanche, on y construit de nouvelles géométries et tout d'abord la géométrie affine en deux étapes fort simples :

  1. on définit des points impropres
  2. on les supprime

La caractérisation des éléments impropres en géométrie affine est :

Les éléments impropres appartiennent à un unique plan impropre.

Toute droite (propre) possède un unique point impropre.

L'élimination des points consiste à dire : « on transforme une droite projective en une droite affine en lui ôtant son point impropre. ». On retrouve alors immédiatement l'axiome du parallélisme de la géométrie affine. De plus, le point impropre supprimé est assimilable à la direction de ses droites.

L'on peut également recourir au éléments impropres pour caractériser le parallélisme de la géométrie hyperbolique ; mais cette dernière n'est pas entièrement compatible avec la géométrie projective.


Conclusion

La notion d'élément impropre n'est pas nécessaire à la géométrie projective ; mais sert de "passerelle" entre cette géométrie et la géométrie affine. La suppression des éléments impropres est comparable à une ouverture (au sens topologique) de l'espace. Inversement la géométrie projective s'apparente à une fermeture de la géométrie affine.

De plus la construction arguésienne permet une réécriture[4], une transposition rapide des théorèmes de la géométrie projective (le théorème de Desargues en premier lieu). Paradoxalement, on s'aperçoit vite du caractère simplificateur de la géométrie projective qui nous débarrasse des singularités du parallélisme (appelées « dégénérescences »).

Notes

  1. Cette géométrie est notre géométrie familière (épurée) puisque la géométrie euclidienne est affine.
  2. c'est à dire qu'elles appartiennent à un même plan.
  3. ces éléments sont souvent dits « à l'infini ».
  4. de la même manière que la dualité

Références

  • Paul Rossier, Géométrie synthétique moderne, Vuibert, 1961 
  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « G%C3%A9om%C3%A9trie argu%C3%A9sienne ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Géométrie Arguésienne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Geometrie arguesienne — Géométrie arguésienne En géométrie synthétique, la géométrie arguésienne est une « construction » simple (due à Desargues), basée sur l introduction d éléments impropres, pour faire entrer la géométrie affine[1] (et le parallélisme)… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie arguésienne — En géométrie synthétique, la géométrie arguésienne est une « construction » simple (due à Desargues), basée sur l introduction d éléments impropres, pour faire entrer la géométrie affine[1] (et le parallélisme) dans le moule de la… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie — Géométrie La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, aux figures de d autres types d espaces (géométrie projective, géométrie non… …   Wikipédia en Français

  • Géometrie — Géométrie La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, aux figures de d autres types d espaces (géométrie projective, géométrie non… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie projective — Géométrie projective La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection. Sommaire 1 Considérations historiques …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Projective — La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intuitives de perspective et d horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par projection. Sommaire 1 Considérations historiques 2 Aperçu élémentaire …   Wikipédia en Français

  • Geometrie differentielle — Géométrie différentielle En mathématique, la géométrie différentielle est l application des outils du calcul différentiel à l étude de la géométrie. Les objets d étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie euclidienne — Géométrie euclidienne Euclide. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions… …   Wikipédia en Français

  • Geometrie symplectique — Géométrie symplectique La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie Différentielle — En mathématique, la géométrie différentielle est l application des outils du calcul différentiel à l étude de la géométrie. Les objets d étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”