Gaz parfait relativiste

Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait « classique » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière.

Gaz non quantique

Fonction de partition

La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :

$Z = \frac{1}{N!} \left\{ 4\pi V \left(\frac{mc}{h}\right)^3 \exp (u) \frac{K_2(u)}{u}\right\}^N$,

où :

$u = \frac{\,mc^2}{kT}$,

$K_n(x) = \frac{2^n x^n \Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \frac{\cos\zeta \,\text{d}\zeta}{(\zeta^2+x^2)^{n+1/2}}$ (fonction de Bessel modifiée de seconde espèce),

avec

• T la température ;
• N le nombre de particules du gaz ;
• m la masse de chaque particule
• V le volume occupé par le gaz ;
• c la vitesse de la lumière ;
• h la constante de Planck ;
• k la constante de Boltzman^[1].

Démonstration^[2]

La fonction de partition dans l'ensemble canonique d'un gaz parfait relativiste à 1 particule est :

$Z(T, V, 1) = \frac1{h^3} \int_V \int_{\mathbb{R}^3} \exp -\frac{E}{kT} \,\text{d}^3 q \,\text{d}^3 p$

où

$E = mc^2 \left\{ \sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2 } - 1\right\}$

est l'énergie cinétique de la particule. En séparant les variables, on obtient

$Z(T, V, 1) = \frac {4\pi V}{h^3} \exp u \int_0^{+\infty} \exp \left[ -u\sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2 }\right] p^2 \,\text{d}p$,

en posant u = mc² / kT. Le changement de variable

$\zeta = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2}$

donne

$Z(T, V, 1) = 4\pi V \left(\frac{mc}h\right)^3 \underbrace{\int_1^{+\infty} \zeta\sqrt{\zeta^2-1} \exp(-u\zeta)}_{= I} \,\text{d}\zeta$.

Par parties^[3]

$I = \underbrace{\frac23 \Big[(\zeta^2-1)^{3/2} \exp(-u\zeta) \Big]_1^{+\infty}}_{= 0} + \frac23\underbrace{\int_1^{+\infty} \left(\zeta^2-1\right)^{3/2} \exp(-u\zeta) \,\text{d}\zeta}_{= \frac32 K_2(u)}$.

Le résultat se trouve en utilisant l'absence d'interaction entre particules :

$Z(T, V, N) = \frac{Z(T, V, 1)^N}{N!}$

Variables thermodynamiques

Variables thermodynamiques, dans l'approximation d'un grand nombre de particules.

Variable	Expression générale	Limite classique	Limite ultra-relativiste
énergie interne U[4]	$Nmc^2 \left[ \frac{K_1(u)}{K_2(u)} + \frac{3}{u} - 1\right]$	$\frac32 NkT$	$3 NkT\,$
énergie libre F[4]	$-NkT \left\{ \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] + 1 \right\} - Nmc^2$
enthalpie H	$Nmc^2 \left[ \frac{K_1(u)}{K_2(u)} + \frac{4}{u} - 1\right]$	$\frac52 NkT$	$4 NkT\,$
enthalpie libre G	$-NkT \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] - Nmc^2$
capacité calorifique CV[4]	$N k u \left\{ u + \frac 3{u} - \frac{K_1(u)}{K_2(u)} \left[ 3 + u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right] \right\}$	$\frac32 Nk$	$3 Nk\,$
capacité calorifique CP	$N k u \left\{ u + \frac 4{u} - \frac{K_1(u)}{K_2(u)} \left[ 3 + u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right] \right\}$	$\frac52 Nk$	$4 Nk\,$
potentiel chimique μ[4]	$-kT \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] - mc^2$
entropie S[4]	$Nk \left\{ \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)^3 \frac{K_2(u)}{u} \right] + 4 + \frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right\}$
pression P[4]	$\frac{NkT}V$	$\frac{NkT}V$	$\frac{NkT}V$

Bibliographie

Ouvrages généraux

• Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas, Thermodynamique et mécanique statistique, Springer, 1999 (ISBN 3540661662) 

Références

1. ↑ Greiner et al. (1999), p. 269-271
2. ↑ Les grandes lignes suivent Greiner et al. (1999), p. 269-271. L'intégration finale utilise un autre changement de variables.
3. ↑ (en) Le lien entre l'intégrale et la fonction de Bessel K_n est donné par Modified Bessel Function of the Second Kind sur MathWorld, Equation 7
4. ↑ ^{a, b, c, d, e et f} Expressions générales données par Greiner et al. (1999), p. 271-273