Ensemble canonique

En physique statistique, l’ensemble canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque système est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie. Cela signifie que le système peut échanger de l'énergie avec le réservoir, autrement dit, l’énergie est alors amenée à fluctuer d’un système à un autre de l'ensemble.

Tableau résumant les ensembles en physique statistique	Ensembles
	Microcanonique	Canonique	Grand-canonique
Variables indépendantes	E, N, V ou B	T, N, V ou B	T, μ, V ou B
Fonction microscopique	nombre des micro-états Ω	Fonction de partition canonique $Z = \sum_k e^{-\beta E_k}$	Fonction de partition grand-canonique $\Xi \ = \ \sum_i e^{ -\beta (E_i - \mu N_i ) }$
Potentiel thermodynamique	Entropie $S \ = \ k_B \ \ln \Omega$	Energie libre $F \ = \ - \ k_B T \ \ln Z$	Grand potentiel $\Phi_G=- \ k_B T \ln \Xi$

Principe

La détermination de la distribution des niveaux d'énergies au sein d'un ensemble canonique se fait en considérant l'ensemble microcanonique qu'il constitue avec le réservoir d'énergie. On établit alors la relation d'équilibre thermodynamique en recherchant la valeur maximale de l'entropie du système ainsi composé.

L'entropie étant une valeur extensive, l'entropie du système est la somme des entropies :

S_totale = S_canonique + S_reservoir

Les deux systèmes n'interagissent qu'en s'échangeant une énergie δE, de telle sorte que l'on peut écrire :

$\delta S_{totale} = \delta E \frac{\partial}{\partial E} S_{canonique} - \delta E \frac{\partial}{\partial E} S_{reservoir}$

Cette valeur n'est nulle que lorsque l'on a : $\frac{\partial}{\partial E} S_{canonique} = \frac{\partial}{\partial E} S_{reservoir}$

Ce qui suggère d'introduire le facteur :

$\beta = \frac{1}{k_B T} = \frac{1}{k_B}\frac{\partial}{\partial E} S$

Le nombre de micro-états du système total peut s'écrire :

Ω_total = Ω_reservoirΩ_canonique

On cherche à exprimer Ω_canonique, car la probabilité de trouver l'ensemble canonique à un certain niveau d'énergie lui est proportionnelle.

En passant aux logarithmes, on a :

ln Ω_canonique = S_total − S_reservoir = − ΔS_total = − βE_canonique

Car on peut considérer que l'énergie totale concédée à l'ensemble canonique est faible devant l'énergie totale du réservoir.

On a donc bien :

$p_{canonique} \propto e^{-\beta E_{canonique}}$

pour trouver le coefficient de proportionnalité, il suffit d'exprimer le fait que la somme de toutes ces probabilités est égale à 1. Pour cela on introduit donc la fonction de partition canonique :

$Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i}$

Et ainsi :

$p_i = \frac{1}{Z} e^{-\beta E_i}$

Voir aussi

• Distribution de Boltzmann