Partition mathématique

Partition mathématique

Partition (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Partition.

Une partition d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X deux à deux disjoints et qui forment un recouvrement de X. Autrement dit P est une partition de X si et seulement si les parties de P sont non vides et tout élément x de X se trouve dans l'une exactement de ces parties.

Sommaire

Définition

Soit un ensemble X quelconque. Un ensemble P de sous-ensembles de X est une partition de X si :

  • Aucun élément de P n'est vide  ;
  • L'union des éléments de P est égale à X ;
  • Les éléments de P sont deux à deux disjoints.

Les éléments de P sont appelés les parties de la partition.


En notation mathématique en posant P = {P1,P2,...Pn} avec P_i \subset X les conditions ci-dessus peuvent s'écrire :

  • P_i \neq \emptyset
  • \bigcup P_i = X
  • P_i \cap P_j =\emptyset \text{ si } i \neq j

Exemples

L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :

  • { {1}, {2}, {3} },
  • { {1, 2}, {3} },
  • { {1, 3}, {2} },
  • { {1}, {2, 3} } et
  • { {1, 2, 3} }.

Remarquons que

  • { {}, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide, noté {} ou \empty.
  • { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie.
  • { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} parce qu'aucun de ses éléments ne contient 3 ; c'est une partition de {1, 2}.

Dans le cas où toutes les parties de la partition ont même cardinal, on retrouve le lemme des bergers.


On pourrait penser que la première condition de la définition implique que l'ensemble vide n'admet pas de partitions. Il n'en est rien : la partition vide convient (et c'est la seule), puisque n'ayant aucun élément, tous ses éléments ont bien toutes les propriétés voulues, et que leur union est évidemment l'ensemble vide lui-même.

Partitions et relations d'équivalence

Si une relation d'équivalence est donnée sur l'ensemble X, alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de X. Inversement, si une partition P de X est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur X notée ~, par x ~ y si et seulement s’il existe une partie de P qui contient à la fois x et y. Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.

Ordre partiel sur les partitions : le treillis des partitions

L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble est partiellement ordonné : par définition, une partition est plus fine qu'une autre si elle fractionne les parties de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un treillis complet où la borne inférieure est la partition grossière en un seul sous-ensemble et la borne supérieure la partition en singletons.

Nombre de partitions d'un ensemble fini

  • Le nombre de Bell Bn est le nombre de partitions différentes d'un ensemble à n éléments. Les premiers nombres de Bell sont B0=1, B1=1, B2=2, B3=5, B4=15, B5=52, B6=203.

Les partitions par paire

  • Le nombre de partitions par paires d'un ensemble à 2n éléments est égal à \frac{(2n) !}{2^n n !}
  • Une bijection d'un ensemble E sur un ensemble F transforme une partition de E par paire, en une partition de F par paire.
  • Tout ensemble infini admet au moins une partition par paire.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Partition (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Partition mathématique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Partition (mathematiques) — Partition (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Partition. Une partition d un ensemble X est un ensemble P de sous ensembles non vides de X deux à deux disjoints et qui forment un recouvrement de X. Autrement dit P est une partition… …   Wikipédia en Français

  • Partition de l'unité — En première approche, on peut dire qu une partition de l unité est une famille de fonctions positives telles que, en chaque point, la somme sur toutes les fonctions des valeurs prises par chacune d elle vaille 1 : . Plus précisément, si X… …   Wikipédia en Français

  • Partition (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Partition.  En particulier en mathématiques, ne pas confondre avec la notion de partition d un entier, ni celle de partition de l unité. Une partition d un ensemble X est un ensemble P de sous ensembles non… …   Wikipédia en Français

  • Partition binaire de l'espace — Pour les articles homonymes, voir BSP. La partition binaire de l espace (binary space partitioning ou BSP) est un système utilisé par certains moteurs 3d pour diviser l espace en zones convexes. L agencement de ces zones se fait à l aide de plans …   Wikipédia en Français

  • Morphologie Mathématique — Pour les articles homonymes, voir Morphologie. Une forme (en bleu), sa dilatation morphologique (en vert), et son érosion morphologique (en jaune) par un élément struct …   Wikipédia en Français

  • Morphologie mathematique — Morphologie mathématique Pour les articles homonymes, voir Morphologie. Une forme (en bleu), sa dilatation morphologique (en vert), et son érosion morphologique (en jaune) par un élément struct …   Wikipédia en Français

  • Morphologie mathématique — Pour les articles homonymes, voir Morphologie. Une forme (en bleu), sa dilatation morphologique (en vert), et son érosion morphologique (en jaune) par un élément structurant en forme de diamant La morphologie mathé …   Wikipédia en Français

  • Fonction de partition — En physique statistique, la fonction de partition Z est une grandeur fondamentale qui englobe les propriétés statistiques d un système à l équilibre thermodynamique. C est une fonction de la température et d autres paramètres, tels que le volume… …   Wikipédia en Français

  • Fonction De Partition — En physique statistique, la fonction de partition Z est une grandeur fondamentale qui englobe les propriétés statistiques d un système à l équilibre thermodynamique. C est une fonction de la température et d autres paramètres, tels que le volume… …   Wikipédia en Français

  • SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES (la théorie mathématique et ses applications) — De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les «singularités» ont bien des incarnations en mathématiques; mais cela n’exclut pas une certaine unité: qu’il s’agisse …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”