Borne inférieure


Borne inférieure

Borne (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Borne.

Sommaire

Définition

Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).

Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.

Propriété de la borne supérieure

Un corps K possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure.

C'est notamment le cas du corps des réels.


Exemples

  • Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
  • La borne supérieure de l'intervalle ]0,1[ est 1.
  • La borne inférieure de l'intervalle ]0,1[ est 0.
  • L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de \mathbb Q qui n'a pas de borne supérieure dans \mathbb Q
  • La partie \mathbb R_- de  \mathbb R ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée \overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,+\infty\} , il admet  -\infty comme borne inférieure.
  • Un treillis est un ensemble ordonné où toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Notions connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Borne (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Borne inférieure de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • borne — [ bɔrn ] n. f. • v. 1180; bodne 1121; lat. pop. °bodina, p. ê. d o. gaul. 1 ♦ Pierre ou autre marque servant à délimiter un champ, une propriété foncière. ⇒ limite, terme. Borne témoin. Bornes d une parcelle. Planter, poser, déplacer une borne. 2 …   Encyclopédie Universelle

  • borné — borne [ bɔrn ] n. f. • v. 1180; bodne 1121; lat. pop. °bodina, p. ê. d o. gaul. 1 ♦ Pierre ou autre marque servant à délimiter un champ, une propriété foncière. ⇒ limite, terme. Borne témoin. Bornes d une parcelle. Planter, poser, déplacer une… …   Encyclopédie Universelle

  • Borne (Mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Borne. Sommaire 1 Définition 2 Propriété de la borne supérieure 3 …   Wikipédia en Français

  • Borne supérieure — Borne (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Borne. Sommaire 1 Définition 2 Propriété de la borne supérieure 3 …   Wikipédia en Français

  • Borne (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Borne. En mathématiques, une borne est une extrémité d un intervalle dans lequel se situent tous les éléments d un ensemble donné ou toutes les valeurs d une fonction donnée. Une borne est un majorant si elle est …   Wikipédia en Français

  • Borne — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Borne », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Sommaire 1 …   Wikipédia en Français

  • Borne FDCR — Pour les articles homonymes, voir Borne. En statistique, la borne FDCR (autrement appelée inégalité de Cramér Rao), appelée ainsi en l honneur de Fréchet, Darmois, Cramér et Rao, exprime une borne inférieure sur la variance d un estimateur sans… …   Wikipédia en Français

  • Borne de Hamming — Code parfait et code MDS Un code parfait (ou code MDS, pour maximum distance séparable) est un concept de la théorie des codes et qui traite plus spécifiquement des codes correcteurs. Un code correcteur est un code permettant au récepteur de… …   Wikipédia en Français

  • Borne du singleton — Code parfait et code MDS Un code parfait (ou code MDS, pour maximum distance séparable) est un concept de la théorie des codes et qui traite plus spécifiquement des codes correcteurs. Un code correcteur est un code permettant au récepteur de… …   Wikipédia en Français

  • Limites inférieure et supérieure — Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite xn est représentée en bleu. En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d étude des suites de nombres réels. Une telle suite n est en général ni… …   Wikipédia en Français