Partie finie

Ensemble des parties d'un ensemble

En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble.

Définition

Soit E un ensemble. L'ensemble des parties de E est :

$\mathcal{P}(E)=\{ A \mid A \subseteq E \}$.

Il est noté $\mathcal{P}(E)$, P(E), ou $\mathfrak{P}(E)$ (écriture gothique).

Dans la théorie des ensembles, de Zermelo et celle de Zermelo-Fraenkel, l'existence, pour tout ensemble E, d'un tel ensemble est postulée par l'axiome de l'ensemble des parties.

Propriétés

Cardinalité

Cardinalité finie

Soit E est un ensemble de cardinal fini, card(E) = n. Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est fini. Comme chacun des n éléments de E appartient ou n'appartient pas à un sous-ensemble de E, on a 2ⁿ possibilités donc :

$\mathrm{card} \left( \mathcal{P}\left( E \right) \right)=2^n$.

Démonstration

Si on veut une démonstration plus formelle, on procède par récurrence sur n. L'ensemble vide a bien un seul sous-ensemble : lui-même. On suppose la propriété au rang n. Soit E un ensemble ayant n+1 éléments, il est donc non vide, soit a un élément de E. Les sous-ensembles de E se divisent en deux classes évidemment disjointes : celles des sous-ensembles auxquels a appartient, et celle des sous-ensembles auxquels a n'appartient pas. La seconde classe a 2ⁿ éléments par hypothèse de récurrence, la première également, puisqu'elle est en bijection avec la seconde, par l'opération qui consiste à ôter a. L'ensemble des parties de E a donc 2ⁿ⁺¹ éléments.

Cardinalité infinie

On a pour tout entier naturel n, n < 2ⁿ. Ce résultat se généralise en cardinalité infinie. Le théorème de Cantor énonce que l'ensemble des parties d'un ensemble (fini ou non) a une cardinalité strictement supérieure à celle de l'ensemble de départ : il existe une injection d'un ensemble dans l'ensemble de ses parties (par exemple on associe à un élément le singleton auquel il appartient), mais aucune bijection.

Tout ensemble de même cardinal que N, l'ensemble des entiers naturels, est dit dénombrable, et c'est le plus petit cardinal infini. Le théorème de Cantor montre en particulier que P(N) n'est pas dénombrable, ce qui peut s'interpréter en disant que l'on ne peut « numéroter » de façon exhaustive les sous-ensembles de N. C'est-à-dire que, dès que l'on a une suite de sous-ensembles de N indexée par les entiers, on trouve forcément un sous-ensemble de N qui n'apparaît pas dans cette suite.

Quelle peut-être la cardinalité d'un ensemble de parties de N, c'est-à-dire d'un sous-ensemble de P(N) ? Georg Cantor pensait qu'elle ne pouvait être que finie, dénombrable, ou celle de P(N). C'est l'hypothèse du continu qui n'est ni démontrable ni réfutable dans la théorie des ensembles ZFC.

Algèbre de Boole

L'ensemble des parties de l'ensemble E, muni des opérations d'union, d'intersection et de complémentation, forme un exemple typique d'algèbre de Boole. On peut montrer,en particulier que toute algèbre booléenne finie est isomorphe à l'algèbre booléenne de l'ensemble des parties d'un ensemble fini. Cela n'est pas vérifié pour les algèbres booléennes infinies, mais toute algèbre booléenne infinie est une sous-algèbre d'une algèbre booléenne de l'ensemble des parties d'un ensemble.

Comme pour toute algèbre de Boole, on peut définir une structure d'anneau, en introduisant une opération définie à partir de la réunion et de l'intersection : la différence symétrique. L'ensemble des parties de l'ensemble E muni de la différence symétrique est un groupe abélien. L'élément neutre est l'ensemble vide. Chaque sous-ensemble est son propre opposé. Ce même ensemble est un semigroupe commutatif lorsqu'il est muni de l'opération d'intersection. On peut donc montrer (en utilisant les lois de la distributivité) que l'ensemble des parties d'un ensemble, muni de la différence symétrique et de l'intersection, est un anneau commutatif dont tout élément est idempotent (x²=x, ici le produit est l'intersection), c’est-à-dire un anneau de Boole (réciproquement à tout anneau de Boole on peut associer une algèbre de Boole).

Exemples

Soit E = {a,b,c} un ensemble de trois éléments. Les sous-ensembles de E sont :

• $\varnothing$, l'ensemble vide
• {a}
• {b}
• {c}
• {a,b}
• {a,c}
• {b,c}
• E = {a,b,c}

L'ensemble des parties de E est donc :

$\mathcal{P}(E) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, E\}$.

On vérifie au passage que l'on a bien $\mathrm{card}\, \mathcal{P}(E)=2^{\mathrm{card}\,E}=2^3=8$.

Notation exponentielle

En théorie des ensembles, X^Y désigne l'ensemble des fonctions de Y dans X. Comme 2 peut être défini comme l'ensemble {0, 1} dans la construction des entiers naturels de von Neumann, 2^E peut désigner l'ensemble des fonctions de E dans {0, 1}.

En associant une fonction de 2^E avec l'ensemble antécédent de 1 par cette fonction, on établit une bijection immédiate entre 2^E et $\mathcal{P}(E)$, où chaque fonction est la fonction caractéristique du sous-ensemble de $\mathcal{P}(E)$ avec lequel il a été mis en correspondance.

Il peut donc arriver que l'on identifie 2^E et $\mathcal{P}(E)$.

Voir aussi

Liens internes

• Axiome de l'ensemble des parties
• Théorème de Cantor

Liens externes

• (en) Power Set (MathWorld)

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