Orthogonalisation simultanée

La méthode de Gauss construit une base orthogonale pour une forme quadratique donnée sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Dans cet article, on étudie simultanément deux formes quadratiques dont l'une est issue d'un produit scalaire. Le théorème montre l'existence d'une base orthogonale en même temps pour les deux formes.

Orthogonalisation simultanée dans le cas euclidien

Théorème — E est un espace euclidien avec son produit scalaire $(x,y) \mapsto x.y\,$ et la norme euclidienne associée $x \mapsto ||x||^2 \,$ . Si $q \,$ est une forme quadratique sur E, alors il existe une base orthonormée pour le produit scalaire et orthogonale pour $q\,$.

Démonstration —

• Comme E est de dimension finie, la sphère unité $S = \{ x \in E\, ;\, || x||=1\}\,$ est compacte d'après le théorème de Borel-Lebesgue

La fonction $f : x \mapsto q(x)/||x||^2\,$ est continue sur $S\,$. Elle y est donc majorée et atteint cette borne en un certain point $e\,$.

• Si $\phi \,$ est la forme polaire associée à $q\,$, on a : $q(e+x) - q(e) = 2 \phi(e,x) + q(x)\,$ La différentielle de $q\,$ en $e\,$ est alors la partie linéaire du terme de droite : $Dq_e(x) = 2 \phi(e,x)\,$

• Comme $e\,$ est un extremum pour $f\,$, la différentielle de $f\,$ en $e\,$ est nécessairement nulle, soit $0 = Df_{e}(x) = \frac{2 \phi(e,x).||e||^2 - 2q(e)(e.x)}{||e||^4}$

ou

$2 \phi (e,x) = 2q(e)(e.x)\,$ donc $e.x = 0\,$ entraîne $2 \phi(e,x) = 0\,$ pour tout $x \in E\,$.

• On achève la preuve par récurrence sur la dimension de l'espace E. En dimension 1, c'est évident. Supposons la propriété vraie en dimension n-1. La droite dirigée par $e\,$ est en somme directe orthogonale avec son orthogonal : $E = <e>\overset{\perp}{\bigoplus}<e>^\perp\,$

car le produit scalaire est une forme symétrique définie positive. L'hypothèse de récurrence donne une base $(u_2,...,u_n)\,$ de $<e>^\perp\,$orthonormée pour le produit scalaire, orthogonale pour $\phi\,$. Par construction :

• $e.u_i = 0\,$ et donc aussi $\phi(e,u_i) = 0\,$ pour $i=2, \ldots, n$
• $||e|| = 1\,$

La base $(e,u_2,...,u_n)\,$ répond donc à la question.

Contrairement à la réduction de Gauss, c'est un résultat d'existence qui ne produit pas la base en question. La preuve est prise dans [Aud]^[1]

Applications

• Une conique à centre a des axes de symétrie orthogonaux.

Notes et références

1. ↑ Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd. (ISBN 2-86883-883-9), p. 271