Loi De Réciprocité Quadratique


Loi De Réciprocité Quadratique

Loi de réciprocité quadratique

En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, la loi de réciprocité quadratique, conjecturée par Euler et Legendre et correctement démontrée pour la première fois par Gauss, établit un lien entre la résolubilité de deux équations diophantiennes quadratiques voisines d'arithmétique modulaire. Cette loi permet en fait de déterminer la résolubilité de n'importe quelle équation quadratique en arithmétique modulaire.

Sommaire

Énoncés

Premier énoncé

Étant donné des nombres premiers distincts p et q impairs, la loi de réciprocité quadratique comprend deux résultats qui dépendent chacun des valeurs respectives de p et de q :

  • si au moins l'un des nombres p et q est congru à 1 modulo 4, alors l'équation d'inconnue x :
x^2\equiv p \pmod{q}
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
y^2\equiv q \pmod{p}
a une solution (les deux solutions sont en général différentes).
  • si p et q sont congrus à 3 modulo 4, alors l'équation d'inconnue x :
x^2\equiv p \pmod{q}
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
y^2\equiv q \pmod{p}
n'a pas de solution.

Énoncé avec le Symbole de Legendre

En utilisant le symbole de Legendre, ces deux résultats peuvent être résumés par l'énoncé unique suivant :

 \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}

De plus -1 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si le reste de la division de p par 4 est égal à 1. Et 2 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si le reste de la division de p par 8 est égal à 1 ou 7.

Exemples

Avec des nombres premiers

Par exemple, si p vaut 11 et q vaut 19, il est possible de ramener le calcul de \left(\frac{11}{19}\right) à celui de  -\left(\frac{19}{11}\right), qui est égal à  -\left(\frac{8}{11}\right) (puisque 19\equiv 8\ (11)). Pour aller plus loin, nous avons besoin de propriétés supplémentaires qui permettent de calculer  \left(\frac{2}{q}\right) et  \left(\frac{-1}{q}\right) explicitement, par exemple :

\left(\frac{-1}{q}\right) = (-1)^{\frac{q-1}{2}}

En utilisant cela, nous ramenons successivement le calcul de  -\left(\frac{8}{11}\right) à  -\left(\frac{-3}{11}\right) (car 8\equiv -3\ (11)), puis à  -\left(\frac{11}{3}\right) et enfin à -\left(\frac{2}{3}\right), ce qui termine le calcul, puisque 2 n'est pas résidu quadratique modulo 3.-\left(\frac{2}{3}\right)=-(-1)= 1. Conclusion: Le résultat étant 1, on en déduit que 11 est résidu quadratique modulo 19. D'ailleurs on le vérifie immédiatement : 7^2 =49=38+11 \equiv 11 \pmod{19}

Cas général

Déterminons si 219 est un carré modulo 383. Les propriétés du symbole de Legendre montrent que :

\left(\frac{219}{383}\right)= \left(\frac{3}{383}\right)\left(\frac{73}{383}\right)

Une première application de la loi de réciprocité quadratique montre que :

\left(\frac{219}{383}\right)= -\left(\frac{383}{3}\right)\left(\frac{383}{73}\right)

En appliquant encore la loi de réciprocité quadratique et les propriétés du symbole de Legendre, on obtient :

\left(\frac{219}{383}\right)=-\left(\frac{-1}{3}\right)\left(\frac{18}{73}\right) = -\left(\frac{-1}{3}\right) \left(\frac{2}{73}\right) \left(\frac{9}{73}\right) = \left(\frac{2}{73}\right)=(-1)^{\left(\frac{73^2-1}{8}\right)}=(-1)^{666}=1

Outil de démonstration

Si p est un nombre premier, 5 est-il un carré modulo p ? La loi de réciprocité quadratique nous permet d'affirmer que cela arrive lorsque p est lui-même un carré modulo 5, c'est-à-dire quand p\equiv \pm 1 \pmod{5}

Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique

Dans un livre publié en 2000, Lemmermeyer expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations de cette loi de réciprocité quadratique.

Les premières démonstrations aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait des preuves dès 1796 (à l'âge de 19 ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec son élève Ferdinand Eisenstein, Gauss qualifie cette preuve de laborieuse[1].

Une autre démonstration est donnée dans l'article Somme de Gauss. Elle se fonde sur les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini et utilise les caractères des groupes abéliens additif et multiplicatif du corps fini Fp à p éléments.

Une des nombreuses démonstrations, fondée sur un calcul de dénombrement, permit à Thomas Joannes Stieltjes d'élucider le caractère quadratique de -1 et 2 avec une approche élémentaire et élégante[2]. Cette démonstration est proposée ici.

Généralisations

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant la véritable généralisation de toutes ces lois, généralisation monumentale, est la théorie des corps de classes.

Le lemme de Gauss concerne les propriétés des résidus quadratiques et sert dans la démonstration établie par Gauss de la loi de réciprocité quadratique.

Liens externes

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Notes et références

Références

  1. Gauß, Eisenstein, and the ``third'' proof of the Quadratic Reciprocity Theorem: Ein kleines Schauspiel
  2. Cette démonstration fut publiée dans l'article : T. J. Stieltjes Sur le caractère quadratique de deux Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1ière série Tome 11 N° 1 1897 p 5-8 lire
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