Reciprocite cubique

Réciprocité cubique

En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

Notations algébriques

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

$z = a + b\,\omega$

où a et b sont des entiers et

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$

est une racine de l'unité cubique complexe.

Si $\pi\,$ est un élément premier de E de norme P et $\alpha\,$ un élément premier avec $\pi\,$, nous définissons le symbole résidu cubique $\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\,$ comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de $\omega\,$) satisfaisant

$\alpha^{(P-1)/3} \equiv \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3$

De plus, nous définissons un nombre premier primaire comme étant congru à -1 modulo 3. Alors, pour des nombres premiers primaires distincts $\pi\,$ et $\theta\,$ la loi de réciprocité cubique est simplement

$\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3$

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour les nombres premiers $1-\omega\,$ de norme 3 qui, en posant $\pi = -1 + 3(m+n\omega)\,$, sont

$\left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{m+n}$

$\left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{2m}$

Références

• David A. Cox, Primes of the form x² + ny², Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
• K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.

Liens externes

• Théorème de réciprocité cubique de MathWorld

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