Lemme de Fatou

Le lemme de Fatou est un important résultat dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il a été démontré par le mathématicien français Pierre Fatou (1878-1929). Ce lemme compare l'intégrale d'une limite inférieure de fonctions mesurables positives avec la limite inférieure de leurs intégrales.

Il est en général présenté dans une suite de trois résultats : d'abord le théorème de convergence monotone, qui sert ensuite à démontrer le lemme de Fatou, puis celui-ci est utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Ce lemme porte parfois le nom de théorème de Fatou-Lebesgue.

Énoncé

Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. Pour toute suite $(f_n)_{n\in\N}$ de fonctions mesurables sur E à valeurs dans [0,+∞], la limite inférieure de la suite est mesurable et l'on a :

$\int\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n~\mathrm d\mu\le\liminf_{n\rightarrow\infty}\int f_n~\mathrm d\mu$.

L'égalité n'est en général pas vérifiée.

Démonstration

Définissons la suite de fonctions $(g_n)_{n\in\N}$ par :

$\forall x\in E,\quad g_n(x)=\inf_{i\geq n}f_i(x)$.

Par construction, les fonctions g_n forment une suite croissante de fonctions mesurables positives et la limite simple de cette suite est égale à la limite inférieure des f_n. Le théorème de convergence monotone s'applique et donne :

$\int\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int\lim_{n\rightarrow\infty}g_n~\mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int g_n~\mathrm d\mu.$

Or g_n est une fonction minorant f_i si i est plus grand que n donc

$\forall i\geq n,\quad\int g_n~\mathrm d\mu\le\int f_i~\mathrm d\mu\qquad\text{et par suite}\qquad\int g_n~\mathrm d\mu\le\inf_{i\geq n}\int f_i~\mathrm d\mu$

Nous avons alors démontré en passant à la limite que :

$\int\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n~\mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int g_n~\mathrm d\mu\le\liminf_{i\rightarrow\infty}\int f_i~\mathrm d\mu$.

Et l'égalité n'est pas vérifiée en général : exemple avec la mesure de Lebesgue sur [0,2] : soit (f_i) la suite dont les termes pairs valent f_2i = 1_[0,1] (fonction qui vaut 1 sur [0,1] et 0 ailleurs) et les termes impairs f_{2i + 1} = 1_[1,2] (fonction qui vaut 1 sur [1,2] et 0 ailleurs). Alors g_n = 0 et donc $\int_{[0,2]} g_n~\mathrm dx=0$ pour tout n, alors que $\int_{[0,2]} f_i~\mathrm dx= 1$ pour tout i.

Liens externes

• Théorème de la convergence dominée de Lebesgue
• Théorème de Lebesgue dans un cas simple