Fonction De Morse

Fonction de Morse

En analyse, on appelle fonction de Morse toute fonction différentiable de classe au moins C², et dont les points critiques sont non-dégénérés (c.-à-d. dont la matrice hessienne est une forme quadratique non dégénérée). À un niveau élémentaire, les fonctions de Morse se définissent sur les ouverts de Rⁿ ; en géométrie différentielle, elles se définissent plus généralement sur les variétés différentielles.

En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du h-cobordisme.

Non-dégénérescence d'un point critique

Articles détaillés : Matrice hessienne et Point critique.

Pour une fonction f de classe C² définie sur un voisinage de 0 de Rⁿ, la hessienne de f en 0, notée Hess_f est toujours bien définie. C'est la forme quadratique définie sur Rⁿ définie par :

$\operatorname{Hess}_f(u,v)=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} u_iv_j$.

Il est à remarquer que cette définition est en soi non triviale car utilise implicitement le théorème de Cauchy. Cependant, si 0 est un point critique de f, et pour tout difféomorphisme local g en 0 avec g(0)=0, il vient :

$\operatorname{Hess}_{fg}(u,v)= \operatorname{Hess}_f\bigl(\mathrm d_0g(u),\mathrm d_0g(v)\bigr)$

Cette formule autorise de parler de la hessienne d'une fonction de classe C² sur une variété différentielle en ses points critiques.

Une fonction f : M → R est dite de Morse lorsque pour tous ses points critiques x, la hessienne de f en x est une forme quadratique non dégénérée sur l'espace tangent T_x M.

Comportement local en un point critique

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Généricité des fonctions de Morse

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Références

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