Classe De Régularité

Classe de régularité

En mathématiques, les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées.

Si I est un intervalle de $\R$, et $k \geq 1$ un entier on note $\mathcal{D}^k(I,\R)$ l'ensemble des fonctions de I vers $\R$ qui sont k fois dérivables. On note $\mathcal{C}^k(I,\R)$ le sous-ensemble de $\mathcal{D}^k(I,\R)$ formé par les fonctions dont la k-ième dérivée est continue, et on note $\mathcal{C}^0(I,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de I vers $\R$. Enfin on note $\mathcal{C}^{\infty}(I,\R)$ l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de I vers $\R$.

Ces ensembles sont des algèbres sur $\R$ et on a la suite d'inclusions :

$\mathcal{C}^0(I,\R) \supset \mathcal{D}^1(I,\R) \supset \mathcal{C}^1(I,\R) \supset \mathcal{D}^2(I,\R) \supset \mathcal{C}^2(I,\R) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{k}(I,\R) \supset \mathcal{D}^{k+1}(I,\R) \supset \mathcal{C}^{k+1}(I,\R) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{\infty}(I,\R).$

Voir aussi

• régularité par morceaux
• dérivation itérée

Ce document provient de « Classe de r%C3%A9gularit%C3%A9 ».