Droite Projective

Droite projective

En géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1. Un espace vectoriel de dimension 2 y est associé.

Plus formellement, une droite projective sur un corps K, dénotée $\mathbb P ^1(K)$ peut être définie comme l'ensemble des sous-espaces à une dimension de l'espace vectoriel à deux dimensions K². On peut concevoir la droite projective comme la droite des K à laquelle on ajoute un point à l'infini.

La notion de droite projective se généralise pour les anneaux associatifs.

Coordonnées homogènes

En coordonnées homogènes, un point sur la droite projective $\mathbb P ^1(K)$ est une paire de la forme :

[x₁:x₂]

où $x_1, x_2 \in K$ ne sont pas tous deux nuls. Deux telles paires sont dites égales si elles ne diffèrent que par un facteur non-nul λ :

[x₁:x₂] = [λx₁:λx₂].

La droite des K est identifiée au sous-ensemble de $\mathbb P ^1(K)$ donné par :

$\left\{[x : 1] \in \mathbb P^1(K) \big| x \in K\right\}.$

Ce sous-ensemble couvre tous les points dans K, excepté le point à l'infini

∞=[1:0].

Exemples

Nombres réels

Si le corps K est l'ensemble des nombres réels, alors la droite projective réelle est obtenue en projetant les point de ℝ² sur le cercle unitaire et en posant comme égaux les points diamétralement opposés. En termes de théorie des groupes, ceci équivaut à prendre le quotient avec le sous-groupe {1,-1}.

En termes de topologie, c'est un cercle. On peut le concevoir en imaginant les +∞ et -∞ des nombres réels collés ensemble pour ne former qu'un seul point à l'infini, ∞, dit point à l'infini dans la direction de la droite réelle. Le résultat est donc un cercle.

La droite projective réelle n'est pas équivalente à la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre +∞ et -∞.

Nombres complexes

Si le corps K est l'ensemble des nombres complexes, alors l'ajout d'un point à l'infini au plan complexe ℂ² résulte en un espace qui, topologiquement, est une sphère. La droite projective complexe est aussi connue sous le nom de sphère de Riemann ou sphère de Gauss.

C'est l'exemple le plus simple de surface de Riemann. Ceci explique que la droite projective complexe est d'usage commun en analyse complexe, en géométrie algébrique et en théorie des variétés complexes.

Corps finis

Si le corps K est fini et a q éléments, alors la droite projective a

q+1

éléments. On peut écrire tous ses sous-corps, sauf un, sous la forme :

y = ax

où $a \in K$. Le cas restant est celui de la droite x=0.

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