Axiomes De Plans Projectifs/homogènes

Axiomes de plans projectifs/homogènes

Article principal : Axiomes de plans projectifs.

« Faire des mathématiques, c’est donner le même nom à des choses différentes. » Henri Poincaré

Le plan homogène est une création abstraite de géométrie analytique destinée à uniformiser les calculs d'intersections de droites sans se préoccuper de savoir si elles sont parallèles ou non. Dans un premier temps le plan homogène et les coordonnées homogènes ont un but simplement computationnel. Dans un deuxième temps si on approfondit les conséquences de la définition des coordonnées homogènes on s'aperçoit que ceci correspond à la définition d'un plan projectif; comme il existe plusieurs sortes de plans projectifs, on se demande duquel il s'agit et l'on peut démontrer que le plan projectif homogène répond au théorème fondamental de la géométrie projective.

Sommaire

Cascade d'axiomes de plans projectifs

Plan projectif-tout-court

Un plan projectif (PP) est un ensemble de points et de droites (c'est-à-dire de groupements de points qu'on appellera droites). Un point est incident à cette droite s’il appartient à ce groupement. Une droite est incidente à un point si ce point fait partie de ce groupement. On dit aussi que cette droite passe par ce point ou que ce point est sur cette droite. Ce ne sont là que des questions de vocabulaire. Attention, une droite ne ressemble pas forcément aux bonnes vieilles droites de notre plan euclidien « naturel », ce n'est qu'un mot pour désigner des sous-ensembles de points. Une convention dans le dessin des figures, surtout lorsqu'elles dépassent le bord de page, est de « courber les droites ».


Plan projectif d'incidence (la base minimaliste)

Un plan projectif (PPI) d’incidence est un PP qui vérifie les axiomes :

  1. Il existe au moins 2 points et une droite.
  2. Chaque droite possède au moins 3 points.
  3. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
  4. Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
  5. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.


Plan projectif homogène

définition du plan projectif homogène

La géométrie projective homogène est la conception purement abstraite d'une structure ensembliste fondée sur des notions très élémentaires de théorie des ensembles. Le point de départ est un corps commutatif K dans lequel on exploite en particulier les propriétés d'associativité a*(b*c)=(a*b)*c, commutativité a*b=b*a et a+b=b+a, distributivité r*(a+b)=r*a+r*b, simplification d'une égalité ( r*a=r*b et r non nul impliquent a=b), toutes choses bien connues des lycéens. On invente une relation d'équivalence R très simple. A partir de là on étudie l'ensemble-quotient induit par cette relation d'équivalence, ce qui est un peu plus abstrait. Sur ces bases simples sera défini un plan projectif homogène (PPH) dont on verra ci-dessous qu'il est un cas particulier de plan projectif fondamental.

Un plan projectif homogène (PPH) est l'ensemble-quotient d'un ensemble E par une relation d'équivalence R,

  • l'ensemble E étant un espace vectoriel de dimension 3 sur un corps commutatif K, privé du vecteur nul (0,0,0).
  • la relation R étant telle que, si k est un élément non-nul de K et V et W sont deux vecteurs non-nuls de E, alors W = kV.
  • On appelle "point" une des classes d'équivalence, représentée par (x,y,z).
  • On appelle "droite" une des classes d'équivalence, représentée par (a,b,c).
  • Un "point" et une "droite" sont incidents lorsque ax+by+cz=0.
  • Ces coordonnées sont appelées coordonnées homogènes.
  • Attention, le corps commutatif K est arbitraire : ce peut être celui des réels, celui des complexes, un corps fini tel que {0,1} ou {0,1,2}, etc.
  • De plus, on pourra utilement « prolonger » le corps commutatif K jusqu'à l'infini, obtenant ainsi le corps prolongé P(K). Pour ce faire, les notations deviennent une peu lourdes. P(K) est bâti à partir de l'ensemble des doublets (c1,c2), c1 et c2 appartenant à K. Deux doublets (c1,c2), (c3,c4) sont équivalents lorsqu'il existe un élément c5 non-nul de K tel que c3=c5*c1 et c4=c5*c2. Cette relation d'équivalence induit un ensemble-quotient, c'est cet ensemble-quotient que l'on appelle le corps prolongé P(K). En termes concrets, si c2 est non-nul, l'élément (c1,c2) correspond au nombre c1/c2 de K ; si c2 est nul, l'élément (c1,0) est le « nombre-infini », noté ∞, qui est unique et ne correspond à rien dans K. Ouf ! Exemples : le nombre (10,5) correspond au classique nombre 2 de K, le nombre (10i,10) correspond au classique nombre i de K si celui-ci est l'ensemble des complexes, le nombre (30+20i,10i) correspond au nombre 2-3i de K si celui-ci est l'ensemble des complexes, et dans tous les cas, (p,0) est l'infini. Les lois de composition internes sont évidentes, à savoir l'addition (c1,c2)+(c3,c4)=(c1*c4+c2*c3, c2*c4) et la multiplication (c1,c2)*(c3,c4)=(c1*c3,c2*c4); l'opposé de (a,b) est (-a,b); l'inverse de (a,b) est (b,a). Les ajouts de lois de composition internes par rapport à K sont simplement que  :
  1. ∞+(c3,c4)=(c1,0)+(c3,c4)=(1, 0)=∞ : l'infini est absorbant pour l'addition ;
  2. l'opposé de l'infini n'existe pas ;
  3. si c3 est non-nul, ∞*(c3,c4)=(c1,0)*(c3,c4)=(c1*c3, 0)=∞ ; l'infini est absorbant pour la multiplication, de même que zero ;
  4. ∞*0 n'est pas défini, car deux éléments absorbants ne peuvent pas se combiner ;
  5. on définit l'inverse de l'infini=(1,0) comme étant zéro=(0,1) et réciproquement, afin de prolonger la règle qui dit que l'inverse de (a,b) vaut (b,a) si a et b sont tous deux non-nuls.
Cet ensemble prolongé servira au rapport anharmonique.

Tolérance d'écriture lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté et qu'on est sûr de ne pas avoir affaire à l'infini, on écrit souvent « c » au lieu de « (c,1) » ; mais il faut être prudent.

« Lorsque nous lisons actuellement des manuels de géométrie projective d'un formalisme absolu, sans figure, nous pensons que les étudiants ne peuvent, faute de formation adéquate, en comprendre la substance. » - Anne Boyé, Pour la science, n°21, novembre 2004-février 2005.

le Pp homogène est d'incidence

On peut vérifier que cet ensemble-quotient est bien un plan projectif d'incidence.


nombreuses propriétés du Pp homogène


La plupart des propriétés analytiques des plans projectifs homogènes découlent de l'espace vectoriel de départ. Elles se réfèrent à des propriétés d'algèbre linéaire, de forme linéaire, de forme bilinéaire et de forme quadratique.



le Pp homogène et le plan classique de dim2

Qui plus est, si la droite de l'infini est la droite (0,0,1), alors on retrouve facilement les coordonnées cartésiennes du plan affine classique de dim2. Si l'on veut se ramener au plan "classique" de la géométrie euclidienne, des résultats spectaculaires sont obtenus, en particulier le calcul de l'angle de deux droites, le calcul de droites orthogonales, toutes le opérations sur l'angle droit; ce qui nous mènerait sans difficulté à trouver l'équation homogène d'un cercle de diamètre donné. Les coordonnées homogènes sont utilisées dans ces conditions par certains logiciels de programmation graphique 3D.


coniques dans le même cas particulier


En dehors des PPH et de la démonstration du théorème fondamental -voir infra- on peut s'efforcer de raisonner sans aucune utilisation de coordonnées quelles qu'elles soient.

Axiomes de plans projectifs/barycentriques

Les plans projectifs barycentriques sont un peu moins généraux que les plans projectifs homogènes mais ont des propriétés très similaires. La notion de plan projectif barycentrique (PPB) est facile à imaginer intuitivement. Elle se définit à partir de la notion de barycentre dans un plan de la géométrie ordinaire auquel on rajoute des points, appelés de manière imagée et arbitraire points à l'infini.

Plans projectifs fondamental, de Pappus, de Désargues etc

Transformations et configurations utiles

Cascade de théorèmes entre ces axiomes

des choix cornéliens pour approfondir les plans projectifs

Lorsque l’on aborde les plans projectifs selon une cascade d’axiomes reliés par une cascade de théorèmes il est possible d’hésiter, la tentation de tout démontrer d’un seul coup avec un théorème très puissant est forte, ou la tentation de tout démontrer algébriquement avec des formules de géométrie analytique.

Pour approfondir.


Articles de Géométrie projective ou voisins à consulter. [modifier]
Hexagramme de Pascal • Axiomes de plans projectifs • Théorème de Pappus • Théorème de Desargues • Dualité • Axiomes de plans projectifs/Suite des axiomes  • Axiomes de plans projectifs/homogènes • Axiomes de plans projectifs/barycentriques • Plan affine • Théorème d'Hessenberg • Traité projectif des coniques • Traité projectif des coniques/Dans un plan pappusien • Conique • Octonions • Relation d'équivalence • Structure de corps • Construction d'un cercle point par point • Construction d'une parabole tangente par tangente • Plan de Fano • Portail:Géométrie • Géométrie analytique • Géométrie synthétique • Géométrie • Géométrie projective • Géométrie non euclidienne • Division harmonique • Rapport anharmonique • Application projective • Fonction homographique • Perspective • Perspective conique • Infini • Droite (mathématiques) 
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