Théorème de Radon-Nikodym

Théorème de Radon-Nikodym

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Sommaire

Absolue continuité

Définition —  Soit \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et soit \scriptstyle\ \rho,\tilde{\rho}\ des mesures positives \scriptstyle\ \sigma-finies (resp. réelles, resp. complexes) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}).

  • On dit que \scriptstyle\ \rho\ est absolument continue par rapport à \scriptstyle\ \nu\ si pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ tel que \scriptstyle\ \nu(A)=0, on a également \scriptstyle\ \rho(A)=0. On note alors
\rho\ll\nu.
  • On dit que \scriptstyle\ \rho\ est portée par \scriptstyle\ E\in\mathcal{A}\ si pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ on a
\rho(A)=\rho(A\cap E),\quad\text{ ou bien encore }\quad\rho(A\backslash E)=0.
  • On dit que \scriptstyle\ \rho\ et \scriptstyle\ \tilde{\rho}\ sont mutuellement étrangères s'il existe \scriptstyle\ E\in\mathcal{A}\ telle que \scriptstyle\ \rho\ soit portée par \scriptstyle\ E\ et \scriptstyle\ \tilde{\rho}\ soit portée par \scriptstyle\ E^c. On note
\rho\perp\tilde{\rho}.

Théorème de Radon-Nikodym

En mathématiques, le théorème de Radon-Nikodym est un résultat de théorie de la mesure, cependant une preuve faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XXième siècle (voir par exemple le manuel Analyse réelle et complexe de Rudin pour de plus amples détails). Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym — Soient \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et \scriptstyle\ \mu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). Alors :

(i) Il existe un unique couple de mesures \scriptstyle\ \mu_1\ et \scriptstyle\ \mu_2\ telles que :

  • μ = μ1 + μ2
  • \mu_1 \ll \nu
  • \mu_2 \perp \nu

\scriptstyle\ \mu_1\ et \scriptstyle\ \mu_2\ sont des mesures positives \scriptstyle\ \sigma\ -finies (resp. réelles, resp. complexes).

(ii) Il existe une unique (à égalité \scriptstyle\ \nu-presque partout près) fonction \scriptstyle\ h\ mesurable positive (resp. \scriptstyle\ \nu-intégrable réelle, resp. \scriptstyle\ \nu-intégrable complexe), telle que pour tout \scriptstyle\ A\in \mathcal{A}, on ait

\mu_1(A) = \int_A h\ d\nu = \int_X 1_A\,h\ d\nu.

Densité d'une mesure

Définition —  Soit \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et soit \scriptstyle\ \rho\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). On dit que \scriptstyle\ \rho\ possède une densité \scriptstyle\ h\ par rapport à \scriptstyle\ \nu\ si \scriptstyle\ h\ est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ on ait

\rho(A) = \int_A h\ d\nu = \int_X 1_A\,h\ d\nu.

On note

h=\frac{d\rho}{d\nu}.

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition — Soient \scriptstyle\ \nu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et \scriptstyle\ \mu\ une mesure positive \scriptstyle\ \sigma-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). Alors on équivalence entre :

  • \mu \ll \nu,
  • \scriptstyle\ \mu\ possède une densité par rapport à \scriptstyle\ \nu.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Rappel — 

\mathbb{P}(X\in A)= \int_{\mathbb{R}^d}\ 1_A(u)\,f(u)\,du= \int_{A}\ f(u)\,du.
\mathbb{P}_X(A)=\mathbb{P}(X\in A).

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste,

Critère — Une variable aléatoire \scriptstyle\ Z\ à valeur dans \scriptstyle\ \mathbb{R}^d\ possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien \scriptstyle\ A\ de \scriptstyle\ \mathbb{R}^d\ dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a

\mathbb{P}\left(Z\in A\right)=0.

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que \scriptstyle\ Z\ possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire \scriptstyle\ Z=(X,Y)\ possède une densité, alors

  • \mathbb{P}\left(X=Y\right)=0 ,
  • \mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=0 ,
  • \mathbb{P}\left(Y=\varphi(X)\right)=0 ,
  • \mathbb{P}\left(\psi(X,Y)=0\right)=0 ,

pour des fonctions \scriptstyle\ \varphi\ et \scriptstyle\ \psi\ suffisamment régulières[1], parce que la mesure de Lebesgue (i.e. la surface) de la première bissectrice (resp. du cercle unité, du graphe d'une fonction, ou d'une courbe, suffisamment régulières) sont nulles.

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité : par exemple, si

Z=\left(\cos \Theta, \sin \Theta\right),

\scriptstyle\ \Theta\ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \scriptstyle\ [0,2\pi], alors \scriptstyle\ Z\ ne possède pas de densité car

\mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=1.

Remarque — Dans le cas \scriptstyle\ d=1,\ une variable aléatoire \scriptstyle\ Z\ à valeur dans \scriptstyle\ \mathbb{R}\ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Notes et références

  1. en effet il faut éviter des phénomènes de type "Courbe de Peano".
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Radon-Nikodym-Lebesgue ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Radon-Nikodym de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Radon-Nikodym-Lebesgue — Théorème de Radon Nikodym Lebesgue Sommaire 1 Absolue continuité 2 Théorème de Radon Nikodym 3 Densité d une mesure 3.1 Densité de probabilité d un ve …   Wikipédia en Français

  • Théorème de radon-nikodym-lebesgue — Sommaire 1 Absolue continuité 2 Théorème de Radon Nikodym 3 Densité d une mesure 3.1 Densité de probabilité d un ve …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Sommaire 1 Absolue continuité 2 Théorème de Radon Nikodym 3 Densité d une mesure 3.1 Densité de probabilité d un vecteur aléatoire …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Lebesgue — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. En mathématiques, plusieurs théorèmes portent, au moins en partie, le nom de Henri Léon Lebesgue : Théorèmes de convergence monotone et dominée de… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Girsanov — Théorème de Girsanov Visualisation du théorème de Girsanov Le coté gauche montre un processus de Wiener avec une tendance négative sous la mesure canonique P; sur le coté droit, chaque trajectoire du processus est colorée selon sa vraisemblance… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de girsanov — Visualisation du théorème de Girsanov Le coté gauche montre un processus de Wiener avec une tendance négative sous la mesure canonique P; sur le coté droit, chaque trajectoire du processus est colorée selon sa vraisemblance sous la mesure… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Girsanov — Visualisation du théorème de Girsanov Le côté gauche montre un processus de Wiener avec une tendance négative sous la mesure canonique P; sur le côté droit, chaque trajectoire du processus est colorée selon sa vraisemblance sous la mesure… …   Wikipédia en Français

  • Johann Radon — Naissance 16 décembre 1887 Tetschen (Autriche Hongrie) Décès 25 mai 1956 Vienne (Autriche) Domicile …   Wikipédia en Français

  • Otto Nikodym — Otto Marcin Nikodým (3 août 1887, Zabolotiv en Ukraine 4 mai 1974, Utica (New York)) était un mathématicien polonais. Il a fait ses études aux universités de Lviv, Varsovie et la Sorbonne. Il a enseigné aux universités de… …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”