Table de primitives

Table de primitives

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par C une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

\textstyle\int f(x)\,\mathrm dx – appelé intégrale indéfinie de f – désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction f à une constante additive près.

Sommaire

Règles générales d'intégration

  • Linéarité:
 \int \left( {\color{ Red } a } \, {\color{ Blue } f(x) } + {\color{ OliveGreen } b } \, {\color{ blue } g(x) } \right) \mathrm dx = {\color{ Red } a } \int {\color{ Blue } f(x) } \, \mathrm dx + {\color{ OliveGreen } b } \int {\color{ Blue } g(x) } \, \mathrm dx


 \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm dx = \int_{a}^{\color{ Red } b} f(x) \,\mathrm dx + \int_{\color{ Red } b}^{c} f(x) \, \mathrm dx


et en particulier :

 \int_{\color{ OliveGreen } a}^{\color{ Red } b} f(x) \, \mathrm dx = {\color{ Red } - } \int_{\color{ Red } b}^{\color{ OliveGreen } a} f(x) \, \mathrm dx


 \int {\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ Red } g'(x)} \, \mathrm dx = [{\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ Red } g(x)}] - \int {\color{ Blue } f'(x)} \, {\color{ Red } g(x)} \, \mathrm dx


moyen mnémotechnique :

 \int {\color{ Blue } u} {\color{ Red } v'} = [{\color{ Blue } u} {\color{ Red } v}] \  - \int {\color{ Blue } u'} {\color{ Red } v}


avec u = f(x), u' = f'(x), v = g(x), v' = g'(x) et dx implicite.

 \int_a^b f( {\color{ Blue } \varphi(t)} ) \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} \, \mathrm d{\color{ Blue } t} = \int_{\color{ Red } \varphi(a)}^{\color{ Red } \varphi(b)} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}


et en particulier :

 \int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, \mathrm dt = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}


explication :

 \text{ soient } {\color{ Blue } \varphi(t)} = {\color{ Red } c} t, \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} = {\color{ Red } c} \text{ et } {\color{ Red } c} \ne 0,


 \int_a^b f({\color{ Blue } \varphi(t)}) \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} \, \mathrm d{\color{ Blue } t} = \int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, {\color{ Red } c} \, \mathrm dt = \int_{\color{ Red } \varphi(a)}^{\color{ Red } \varphi(b)} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x} = \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}


or, nous savons que :

 \int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, \mathrm dt = \int_a^b f({\color{ Red } c}t) \, {\color{ Red } \frac{c}{c} } \, \mathrm dt = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \left( \int_a^b f({\color{ Red } c} t) \, {\color{ Red } c} \, \mathrm dt \right) = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \left( \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x} \right) = {\color{ Red } \frac{1}{c} } \int_{{\color{ Red } c} a}^{{\color{ Red } c} b} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x}


Primitives de fonctions simples

Article connexe : Primitive#Primitives courantes.


Note : dans toutes les formules suivantes, C est une constante réelle (  C \in \R ).

 \int \,\mathrm dx = x + C \qquad \forall x \in \R


Primitives de fonctions rationnelles


 \int x^n\,\mathrm dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{ si } n \ne -1


 \int \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln \left| x \right| + C \qquad \text{ si } x \ne 0


 \int \frac{1}{x-a} \, \mathrm dx  = \ln | x-a | + C \qquad \text{ si } x \ne a


 \int \frac{1}{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac{(x-a)^{1-n}}{n-1} + C \qquad \text{ si } n \ne 1 \text{ et } x \ne a


 \int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}(x) + C \qquad \forall x \in \R


 \int \frac{1}{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan}{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad \text{ si } a \ne 0


 \int \frac{1}{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C = \operatorname{Argth}(x) + C \qquad \text{ si } x \notin \{-1;1\}


Primitives de fonctions logarithmes


 \forall x \in \R_+^*, \text{ i.e. } x > 0,


 \int \ln (x)\,\mathrm dx = x \ln (x) - x + C


 \int \log_b (x)\,\mathrm dx = x \log_b (x) - x \log_b (e) + C


Plus généralement, une primitive n-ième de ln(x) est donnée par :

 \frac{x^n}{n!} \left( \ln (x) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) + P_{n-1}(x)     avec Pn − 1(x) un polynôme de degré n − 1


Primitives de fonctions exponentielles


 \forall x \in \R,


 \int e^x\,\mathrm dx = e^x + C


 \int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad \text{ si } a > 0


Primitives de fonctions irrationnelles


 \forall x \in \R \setminus \{-1;1\}, \text{ i.e. } x \ne -1 \text{ et } x \ne 1,


 \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arcsin} (x) + C


 \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arccos} (x) + C


 \int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C


Primitives de fonctions trigonométriques

Primitives de fonctions hyperboliques

Primitives de fonctions circulaires réciproques

Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe


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