Integration par changement de variable

Intégration par changement de variable

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En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

Principe

C'est la règle d'intégration qui découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soit deux fonctions dérivables f,g et sachant, par la définition d'intégrale, que

$\int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df(x) = f(x) + C$

alors ce théorème permet d'obtenir

$\int \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d g(x)} f(g(x)) \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} g(x) \right) \mathrm dx = \int\mathrm d[f \circ g(x)] = f \circ g (x) + C$

Exemple

Soit à calculer

$\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx$

On pose le changement de variable u = x² et donc du = 2xdx. x varie entre $\sqrt\pi$ et $2\sqrt\pi$ alors u varie entre π et 4π.

$\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(u)\mathrm du = [\sin(u)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0$

Théorème

Énoncé

Soit f une fonction numérique continue, et $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) et injective sur un intervalle [a,b] et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f.

Alors

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt$

avec

$x=\varphi(t)$

Démonstration

La fonction f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction $F\circ \varphi$ est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

$(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'$

D'où

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt$

$=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt$

$=\left[F\circ \varphi\right]_a^b$

$=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$

$=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx$

Changements de variables classiques

• Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
• Pour calculer
  $\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x}$,
  où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose
  $u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}$ :
  le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.

Cas des intégrales multiples

Losque f est une fonctions de plusieurs variables, outre le changement du domaine d'intégration on utilise le jacobien de la transformation « à la place » de $\varphi'$. Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

$\iint_D f(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_T f\bigl(\phi(u,v),\Psi(u,v)\bigr)\left|\frac{\part(\phi,\Psi)}{\part(u,v)}(u,v)\right|~\mathrm du\mathrm dv$.

Voir aussi

• Calcul intégral
• Changement de variable (simplification algébrique)
• Composition de fonctions

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