Analyse (Mathématiques)

Analyse (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Analyse.

L'analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définies et étudiées dans le contexte plus général des espaces topologiques ou métriques.

Histoire

Article détaillé : Histoire de l'analyse.

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis.

L'analyse moderne a été fondée au XVIIe siècle avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au XVIIe siècle, les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu.

Tout au long du XVIIIe siècle, la définition de fonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au XIXe siècle, Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique.

Au milieu du XIXe siècle, Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann. Durant le troisième tiers du XIXe siècle, l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition « ε-δ » des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale de Riemann ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles.

En outre, des « monstres mathématiques » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du XXe siècle le calcul infinitésimal se formalise par la théorie des ensembles. Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle.

Sous-divisions

Aujourd'hui l'analyse est divisée parmi les sous-thèmes suivants :

Bibliographie

  • E. Hairer, G. Wanner, L'analyse au fil de l'histoire, Springer, 2000.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Analyse (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Analyse (Mathématiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Analyse (mathematiques) — Analyse (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Analyse. L analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de… …   Wikipédia en Français

  • Analyse (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Analyse. L analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la… …   Wikipédia en Français

  • Analyse (mathématique) — Analyse (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Analyse. L analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de… …   Wikipédia en Français

  • Analyse réelle — L analyse réelle est la branche de l analyse qui étudie les ensembles de réels et les fonctions de variables réelles. Elle étudie des concepts comme les suites et leurs limites, la continuité, la dérivation, l intégration et les suites de… …   Wikipédia en Français

  • Mathematiques — Mathématiques Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques… …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (FONDEMENTS DES) — Au sens premier et fort, le mot «fondement» désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d’énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. «Reposer sur la base» signifie ici «trouver en elle à… …   Encyclopédie Universelle

  • MATHÉMATIQUES , DE LA DIVERSITÉ À L’UNIFICATION — «Ce que nous appelons la réalité objective, c’est, en dernière analyse, ce qui est commun à plusieurs êtres pensants, et pourrait être commun à tous; cette partie commune [...], ce ne peut être que l’harmonie exprimée par des lois mathématiques.» …   Encyclopédie Universelle

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE — L’analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s’était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du XVIIIe siècle, avant tout Euler et… …   Encyclopédie Universelle

  • MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES) — Les problèmes posés par l’enseignement des mathématiques ne sont pas nouveaux. Au début du siècle, Henri Lebesgue était préoccupé par les conditions de l’enseignement et de la formation des professeurs. Des efforts plus récents se sont déployés… …   Encyclopédie Universelle

  • Analyse Non Standard — L analyse non standard est une branche des mathématiques développée depuis 1960 afin de traiter la notion d infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d objet standard et d objet non standard , ou …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”