Arbre de pythagore

Arbre de Pythagore

L'arbre de Pythagore est une fractale plane construite à l'aide de carrés. Elle porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclôt un triangle rectangle, une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.

L'arbre

Sommaire

Construction

La construction de l'arbre de Pythagore début avec un simple carré. Sur ce carré sont construits deux autres carrés, chacun plus petit d'un facteur ½√2, tels que les coins des carrés soient en contact. La procédure est appliqué récursivement à chaque carré, jusqu'à l'infini. L'illustration ci-dessous illustre les premières itérations de la construction.

Construction de l'arbre de Pythagore, ordre 1
Ordre 2
Ordre 3
Ordre 4
Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3

Aire

La ne itération ajoute 2n carrés de côté (½√2)n, pour une aire totale de 1. Ainsi, l'aire totale de l'arbre semble a priori tendre vers l'infini. Cependant, certains des carrés se superposent à partir de la 5e itération et l'arbre possède finalement une aire finie et tient en fait dans un rectangle de 6×4.

Variations

En conservant la contrainte de former un triangle rectangle à partir de trois carrés, mais en donnant des tailles différentes à chacun des carrés ajoutés à chaque itérations, il est possible de créer des formes fractales similaires à l'arbre de Pythagore. L'illustration suivante illustre un telle variation (les carrés sont indiqués en noir, les triangles rectangles en bleu).

Ordre 0
Ordre 1
Ordre 2
Ordre 5
Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 5

Voir aussi

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