Aire (géométrie)

Pour les articles homonymes, voir Aire.

 Ne pas confondre avec la notion de superficie comme mesure d'un espace concret avec une unité de mesure.

L'aire du carré vaut ici 4.

En mathématiques, l'aire est une mesure de grandeur de certaines figures du plan ou de surfaces en géométrie dans l'espace.

Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée superficie.

Informellement, l'aire est un rapport de grandeur d'une figure par rapport à un carré unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à la limite par approximation. Une aire est donc un nombre réel positif ou est infini pour certaines surfaces comme le plan dans son ensemble.

Diverses techniques ont été élaborées pour évaluer une aire, de la méthode des indivisibles au calcul intégral et aux méthodes probabilistes comme la méthode de Monte-Carlo.

Définition formelle

Dans un espace euclidien de dimension 2, un domaine a une aire s'il est un ensemble mesurable pour la mesure de Jordan et son aire est égale à cette mesure.

Propriétés

Article détaillé : Théorie de la mesure.

L'aire S d'une surface plane suit quatre propriétés^[1] :

1. L'aire d'une surface plane est un nombre positif ou nul.
2. Une unité de longueur étant choisie, l'aire du carré de côté 1 est égale à 1.
3. L'aire est additive. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointes A et B étant données, l'aire de leur union est la somme de leurs aires :

   S(A ∪ B) = S(A) + S(B).

   Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont les aires additionnées redonnent l'aire de départ.

4. L'aire est invariante par isométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie son aire.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A₁, A₂, ... A_n sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S(A₁), S(A₂), ... S(A_n), alors

S(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪A_n) = S(A₁) + S(A₂) + ... + S(A_n)

ce qui se note plus rigoureusement :

$S\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n S(A_k).$

Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infinie dénombrable de surfaces planes (A_n)_{n∈ N^∗} deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :

$S\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) = \sum_{k=1}^\infty S(A_k).$

On parle alors de σ-additivité^[2] (« sigma-additivité »).

Calcul de l'aire

La figure de base pour le calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1, suivie du rectangle. À l'aide de l'aire du rectangle, il est possible de déterminer l'aire d'un triangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) ou d'un parallélogramme, puis celle d'un triangle et, par suite, d'un polygone quelconque.

La formule de l'aire d'un disque est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une limite de suite. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est fondamentale. Une surface qui peut être « correctement » approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite quarrable.

Dans certains cas, l'analyse vient au secours de la géométrie, lorsque les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certaines aires sont égales à des intégrales qui peuvent parfois être calculées à partir de primitives d'une fonction.

D'autres cas sont plus pathologiques : les mathématiciens ont établi une théorie de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les fractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de dimension de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan.

Surfaces usuelles

Article détaillé : Aire de surfaces usuelles.

Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes^[3] et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques souvent utilisés pour résoudre les problèmes d'aire^[4] : « coupé-collé »^[5], parfois en imaginant une infinité de découpages par des considérations sur les limites.

Rectangle

Un rectangle longueur 5 et de largeur 4 contient 5 × 4 = 20 carrés unité. Son aire est donc égale à 20.

Aire d'un rectangle — L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

Démonstration

Un rectangle^[6] dont la longueur et la largeur sont égales à des nombres entiers m et n peut être vu comme composé de m lignes contenant chacune n carrés unité. Son aire est donc égale à m × n.

Si les dimensions du rectangle sont des fractions ^m⁄_p et ⁿ⁄_q, on considère qu'on a « découpé » le rectangle de dimensions m et n en p parts égales, puis chacune de ces parts à nouveau en q parts égales. Le rectangle de dimensions m et n contient donc p × q fois celui de dimensions ^m⁄_p et ⁿ⁄_q. L'aire de ce dernier rectangle est donc égale à ^m⁄_p × ⁿ⁄_q.

Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des nombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels^[7].

Cas particulier du carré

Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à un même nombre appelé côté du carré. Un carré de côté c possède une aire égale à c × c, ce qui se note c². Réciproquement, tout nombre de la forme c² (où c est positif) peut être considéré comme l'aire d'un carré de côté c, ce qui explique que c² se lit « c au carré » ou « le carré de c »^[8].

Triangle

Article détaillé : Aire d'un triangle.

La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est^[9] :

Aire d'un triangle — L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Tout triangle rectangle dont les cathètes (ou petits côtés) mesurent a et b peut être considéré comme la moitié d'un rectangle de dimensions a et b partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est donc égale à $\frac{a \times b}{2}$.

Plus généralement, tout triangle de hauteur d'un triangle h et de côté associé b (dans ce cas, le côté est appelé base) est la moitié d'un rectangle de dimensions h et b, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :

$A = \frac{b \times h}{2}$

D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et, par suite, l'aire d'un polygone quelconque, en utilisant le fait que tout polygone peut être partagé en un nombre fini de triangles^[10]. C'est notamment en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.

• 

  En accolant au triangle rectangle gris un autre triangle isométrique suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle.

• 

  Un triangle vu comme un demi-rectangle.

• 

  Un polygone partagé en triangles.

Disque

Théorème — L'aire d'un disque de rayon R est égale à π × R ².

On se convainc de ce résultat^[11] par un partage du disque en un nombre arbitrairement grand de triangles.

En considérant n points A₁, A₂, ... A_n régulièrement espacés sur un cercle de centre O et de rayon R, on obtient un polygone régulier à n côtés constitué de n triangles isocèles de même aire OA₁A₂, OA₂A₃, etc. L'aire du polygone régulier est donc n fois celle de l'un de ces triangles. Si la hauteur de chacun de ses triangles est h_n, l'aire de chaque triangle est ¹⁄₂h_n × A₁A₂. En mutlipliant par n, l'aire du polygone égale donc la moitié de la hauteur h_n multipliée par le périmètre du polygone. Lorsque le nombre n de points tend vers l'infini, la hauteur h_n tend vers R, et le périmètre du polygone vers celui du cercle, soit 2πR, ce qui donne bien le résultat annoncé.

Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour n allant de 3 à 10.

Intégrale

Articles détaillés : Intégrale de Riemann, calcul numérique d'une intégrale et Intégrale multiple.

L'aire du domaine plan S est l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a ; b].

Le plan étant muni d'un repère orthonormé, pour une fonction numérique f positive et continue, l'intégrale de Riemann de f sur un intervalle [a ; b] est l'aire du domaine défini^[12] par :

• l'axe des abscisses ;
• les droites d'équation respectives x = a et x = b ;
• la graphe de la fonction f.

Cette intégrale est notée $\int_a^b f(x)\text{d}x.$

Cette aire peut être évaluée par des méthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes notamment. Dans certains cas, un calcul de limite permet de déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement semblable à celui utilisé ci-dessus pour le disque^[13].

Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du calcul différentiel permet de prouver^[14] que

$\int_a^b f(x)\text{d}x = F(b) - F(a),$

où F est une primitive de f sur [a ; b]. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir l'ensemble des aires calculables par « découpage » vues précédemment.

Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont de ce fait un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, notamment les probabilités ou les statistiques par le calcul de la valeur moyenne d'une fonction.

Méthode de Monte Carlo

Article détaillé : Méthode de Monte Carlo.

Si le calcul d'aires permet d'améliorer la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est également vraie. Soit une surface S, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, L d'aire inconnue. La méthode de Monte-Carlo consiste à envoyer des points au hasard dans S. On dénombre alors le nombre total n_S de points et le nombre n_L qui se sont trouvés, par hasard, dans L. Il est alors probable que le rapport des aires de L et S soit proche du rapport de n_L sur n_S. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points n_S sera grand.

Problèmes d'aire

Quadrature du cercle

Article détaillé : Quadrature du cercle.

Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins Anaxagore^[15] (V^e siècle av. J.‑C.) jusqu'à 1882, lorsque Ferdinand von Lindemann prouve que π est un nombre transcendant : celui de la quadrature du cercle qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné.

Confusion entre aire et périmètre

Article connexe : Périmètre.

Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.

Le périmètre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques planes. Il est fréquent de confondre ces deux notions^[16] ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1:10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 000². Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle possédant une aire égale à un mètre carré peut avoir comme dimensions, en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m). Proclus (V^e siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagés « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes^[17],[18]. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre.

Isopérimétrie, surface minimale

Des yeux à la surface d'un bouillon.

Articles détaillés : Isopérimétrie et surface minimale.

L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque^[19]. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

$\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1$

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans^[20], ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique^[21]. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.

Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume contenu dans une surface d'aire donnée. La réponse est la sphère, ce qui entraîne notamment la forme des bulles de savon.

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.

Une surface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au voisinage de chacun de ses points. Cela signifie qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande^[22]. Pour un ensemble donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre^[23] car de telles surfaces minimisent également les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est appelée en mathématiques problème de Plateau, elle nécessite des raisonnements de calcul différentiel^[22].

Grande surface

Articles détaillés : surface spécifique et fractale.

Une feuille d'arbre, large et peu épaisse.

A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie possible se pose. Une solution mathématiquement simple existe : une surface sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : une feuille de plante verte est généralement très peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface possible au soleil, pour favoriser la photosynthèse^[24]. Mais une grande surface du limbe foliaire de la feuille favorise également la transpiration, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (pins, cactus...) ont ainsi souvent des feuilles plus épaisses afin de diminuer leur superficie et donc lutter contre le dessèchement^[25].

Premières étapes de la construction d'une éponge de Menger.

Une autre stratégie possible consiste à prendre une solide et à le percer d'un grand nombre de trous. Par exemple, l'éponge de Menger est construite à partir d'un cube qu'on partage trois tranches égales suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un objet fractal qui possède une aire infinie et un volume égal à zéro, tout en ayant des dimensions (longueur, largeur, profondeur) égales à celles du cube de départ^[26]. Des formes très découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, lorsqu'il s'agit de favoriser les échanges entre deux milieux : par exemple les poumons de mammifères (afin de maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit)^[26], les branchies, intestins...

La surface spécifique d'un matériau est sa superficie par unité de masse^[27] : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement, plus il est poreux. La surface spécifique est notamment une caractéristique physique importante d'un sol, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs et à les échanger avec des plantes^[27],[28].

Histoire

Haute Antiquité

Selon Hérodote, la géométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans la nécessité de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du Nil^[29]. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires^[30].

À Babylone, l'aire A était calculée à partir du périmètre P d'un cercle suivant une procédure équivalente à la formule^[29] :

$A = \dfrac{P^2}{12}.$

Même lorsqu'ils connaissaient le diamètre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La procédure était la suivante^[31], comme dans cet exemple, extrait de la résolution d'un problème où il est demandé de déterminer le volume d'une bûche cylindrique dont le diamètre était 1 + ²⁄₃ :

Méthode babylonienne — Triple 1 + ²⁄₃, le dessus de la bûche, et 5, la circonférence de la bûche, viendra. Prends le carré de 5 et 25 viendra. Multiplie 25 par ¹⁄₁₂, la constante, et 2 + ¹⁄₁₂, l'aire, viendra.

L'aire du disque rouge est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.

En Égypte^[29],[30], le calcul s'effectuait à partir du diamètre D :

$A =\left(\dfrac 8 9 D\right)^2$

Le raisonnement consistait probablement à inscrire un octogone et un cercle dans un carré^[29],[30]. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre D du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de

$\dfrac 7 9 D^2 = \dfrac{63}{81} D^2$.

L'aire du disque est considérée comme légèrement supérieure à celle de l'octogone, soit

$A=\dfrac{64}{81} D^2 = \left(\dfrac 8 9 D\right)^2$.

La Grèce antique

• Euclide, dans ses Éléments, démontre l'identité remarquable

(a + b)² = a² + b² + 2ab

par un raisonnement sur des aires de carrés.

• Héron d'Alexandrie (c. 100 ap. J.-C.) publie la formule permettant de calculer l'aire d'un triangle, connaissant ces trois côtés, et appelé formule de Héron. Mais cette formule était connue d'Archimède^[32]

Mathématiques arabes

Al-Khawarizmi, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique remontant à l'Antiquité.

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• « Aire (géométrie) », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel)

Articles connexes

• Arpentage
• Surface
• Surface spécifique
• Surface minimale
• Surface agricole utile

Bibliographie

• A. Amiot, Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, Paris, C. Delagrave et Cie, 1870, 428 p. [lire en ligne] 
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol. 1, Montréal, Vuibert/ERPI, 1973 
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Montréal, Vuibert/ERPI, 1973 
• A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales [détail des éditions] 
• (en) Yu. D. Burago, V.A. Zalgaller et L.D. Kudryavtsev, Encyclopaedia of Mathematics, Springer (ISBN 1-4020-0609-8) [lire en ligne].
  L'article Area de cette encyclopédie de mathématiques traite de ce sujet.
   
• Jacques Faraut, Calcul intégral, EDP Sciences Editions, coll. « Enseignement sup. Mathématiques », 2006, 196 p. (ISBN 2-86883-912-6) 
• Roberto Gonzalo et Karl J. Habermann (trad. Yves Minssart), Architecture et efficacite énergetique : Principes de conception et de construction, Springer, 2008, 221 p. (ISBN 3-7643-8451-4) 
• William G. Hopkins (trad. Serge Rambour), Physiologie végétale, De Boeck Université, 2003, 532 p. (ISBN 2-7445-0089-5) 
• Philippe Joseph (dir.), Écosystèmes forestiers des Caraïbes, Karthala Editions, 2009, 777 p. (ISBN 2-8111-0090-3) 
• Benoit Mandelbrot, Les objets fractals, 4e édition, Flammarion, 1995 (ISBN 978-2-08-081301-5) [présentation en ligne] 
• Daniel Perrin, « Aires et volumes : découpage et recollement », Euler, Académie de Versailles
• (en) Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: a Social History, Princeton University Press, 2008, 442 p. (ISBN 9780691091822) 
• Paul Tannery, Notions de mathématiques, Notions historiques, Paris, C. Delagrave, 1903, 352 p. [lire en ligne] 
• Marc Troyanov, Cours de géométrie, PPUR presses polytechniques, 2009, 358 p. 
• Pieter Versteegh, Vincent Kaufmann, Michel Malet et Florinel Radu, Méandres : penser le paysage urbain, Lausanne, PPUR presses polytechniques, 2005, 192 p. (ISBN 978-2-88074-623-0) 
• Bernard Vitrac, « Les géomètres de la Grèce antique », dans CultureMath, 2004 [texte intégral] 

Notes

1. ↑ Zalgaller Kudryavtsev.
2. ↑ Faraut 2006, Avant-propos.
3. ↑ Ce sont par exemple les trois qui sont rappelées dans Faraut 2006, Avant-propos.
4. ↑ Perrin.
5. ↑ L'usage de ce terme d'informatique pour une pratique datant au moins de l'époque paléo-babylonienne peut sembler étrange, mais il est attesté dans Christine Proust, « Hoyrup, 2002 », dans Éducmath, 2007 [texte intégral] 
6. ↑ On trouvera une démonstration des cas entiers et fractionnaires, basés sur des exemples, dans Tannery 1903, p. 93-94. Pour une version plus complète, voir Perrin, p. 9.
7. ↑ Perrin, p. 9.
8. ↑ Amiot 1870, p. 159.
9. ↑ Amiot 1870, p. 160.
10. ↑ Amiot 1870, p. 162-163.
11. ↑ Voir un raisonnement analogue par exemple dans Tannery 1903 p 101.
12. ↑ D'autres définitions plus générales existent. Celle-ci est notamment celle donnée par le Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, p. 67)
13. ↑ Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, p. 67)
14. ↑ Tannery 1903, p. 277 et suivantes pour un exposé complet avec démonstrations.
15. ↑ Colette, tome 1, p. 55
16. ↑ Dominique Barataud, « Aire et périmètre », dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais sur http://eduscol.education.fr/. Consulté le 5 janvier 2010
17. ↑ T. Heath, A History of Greek Mathematics, Vol. 2, Dover Publications, 1981, p 206 (ISBN 978-0-486-24074-9).
18. ↑ B. Teissier, Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre, Institut de Mathématiques de Jussieu. Leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy p 2.
19. ↑ Le problème isopérimétrique Irem d'Orléans p 2.
20. ↑ Le problème isopérimétrique Irem d'Orléans p. 1.
21. ↑ B. Teissier, Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre, Institut de Mathématiques de Jussieu. Leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy p. 6
22. ↑ ^{a et b} Troyanov 2009, p. 318, 336.
23. ↑ Voir Qu’est-ce qu’une surface minimale ?, vidéos du Palais de la Découverte.
24. ↑ Hopkins 2003, p. 159.
25. ↑ Hopkins 2003, p. 148, 149.
26. ↑ ^{a et b} Versteegh et al. 2005, p. 73.
27. ↑ ^{a et b} Hopkins 2003, p. 78.
28. ↑ Joseph et al. 2009, chap. 21.
29. ↑ ^{a, b, c et d} Dahan-Dalmedico et Pfeiffer, p. 120,121
30. ↑ ^{a, b et c} Colette, tome 1, p. 41,42
31. ↑ Traduction libre et adaptation depuis Robson 2008, p. 65.
32. ↑ Colette, tome 1, p. 95.