Nombre heureux

Nombre heureux

En mathématiques, un nombre heureux est un nombre entier qui, lorsqu'on ajoute les carrés de chacun de ses chiffres en base dix, puis les carrés des chiffres de ce résultat et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un nombre à un seul chiffre, donne 1 pour résultat.
À l'opposé, les nombres qui ne sont pas heureux sont appelés nombres malheureux.

De manière plus formelle, on considère un entier positif t, puis on définit la suite t_0,t_1,t_2\ldots\,\! où t_0 = t\,\! et ti + 1 est égal à la somme des carrés des chiffres de t_i\,\!. t est dit heureux si la suite aboutit à 1 à partir d'un certain nombre de termes, c’est-à-dire que pour un certain indice i, t_i = 1\,\! (à partir de cet indice, tous les t_j\,\! sont égaux à 1 et la suite est constante).

Ainsi, 7 est heureux, puisque la suite associée est :

t_0 = 7^2 = 49\,
t_1 = 4^2 + 9^2 = 97\,
t_2 = 9^2 + 7^2 = 130\,
t_3 = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10\,
t_4 = 1^2 + 0^2 = 1\,

On remarque que 49, 97, 130 et 10 sont aussi heureux.

Plus généralement, par construction, les termes d'une suite définie par cette méthode sont soit tous heureux (ou joyeux), soit tous malheureux (ou tristes).

Les vingt premiers termes de la suite des nombres heureux rangés par ordre croissant (suite A007770 de l’OEIS) sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 et 100.

Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000 … (suite A068571 de l’OEIS) vaut (respectivement) 1, 3, 20, 143, 1 442, 14 377 …

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