Antenne Dipolaire

Antenne dipolaire

L'antenne dipolaire, élaborée par Heinrich Rudolph Hertz vers 1886, est une antenne constituée de deux brins métalliques, alimentée en son milieu et destinée à transmettre ou recevoir de l'énergie électromagnétique. Ce type d'antenne est le plus simple à étudier d'un point de vue analytique.

Sommaire

Dipôle élémentaire

Schéma géométrique d'un dipôle élémentaire.

Un dipôle élémentaire est une petite longueur \scriptstyle{ \delta\ell} de conducteur (petite devant la longueur d'onde \scriptstyle{\lambda}) dans lequel circule un courant alternatif :

\scriptstyle{I=I_\circ e^{j\omega t}}

Dans laquelle \scriptstyle{\omega=2\pi F} est la pulsation (et \scriptstyle{F} la fréquence). \scriptstyle{j} est, comme d'habitude \scriptstyle{\sqrt{-1}}. Cette notation, employant des nombres complexes est la même utilisée quand on travaille avec le formalisme des impédances.

Il faut remarquer que ce type de dipôle ne peut être fabriqué pratiquement. Il faut bien que le courant vienne de quelque part et qu'il sorte quelque part. En réalité, ce petit morceau de conducteur et le courant qui y circule, sera simplement un des petits morceaux dans lesquels on divisera une antenne macroscopique, pour pouvoir la calculer. L'intérêt est que l'on peut calculer facilement le champ électrique lointain de l'onde électromagnétique émise par ce petit bout de conducteur. Nous donnons directement le résultat :

E_\theta={{-jI_\circ\sin\theta}\over 2\varepsilon_\circ c r}{\delta \ell\over\lambda}e^{j\left(\omega t-kr\right)}

Condition d'application de la formule : r beaucoup plus grand que la longueur d'onde, elle-même plus grande que \delta\ell.

Si P est la puissance de l'antenne dipôle, le champ électrique E rayonné en un point situé à une distance r de cette antenne, perpendiculairement à l'antenne (sens du vecteur de Poynting), est donné par la relation :

E=\frac{\sqrt{90 P}}{r}~

E en V/m; P en W; r en m.

Ainsi, une source de 10 W produira un champ E de 1 mV/m à une distance de 30 km, ce qui, en radioélectricité, n'est pas un champ négligeable.

(Voir bibliographie : Electricité par G. Goudet; applications des équations de Maxwell; éditions Masson 1967).

Ici:

  • \scriptstyle{\varepsilon_\circ} est la permittivité du vide.
  • \scriptstyle{c} est la vitesse de la lumière dans le vide.
  • \scriptstyle{r} est la distance entre le dipole et le point où le champ \scriptstyle{E_\theta} est evalué.
  • \scriptstyle{k} est le nombre d'onde \scriptstyle{k={2\pi\over\lambda}}

L'exposant de e\, rend compte de la variation de phase du champ électrique de l'onde avec le temps et avec la distance au dipôle.

Le champ électrique lointain \scriptstyle{E_\theta} de l'onde électromagnétique est coplanaire avec le conducteur et perpendiculaire à la ligne qui relie le point où il est évalué au conducteur. Si nous imaginons le dipôle au centre d'une sphère et parallèle à l'axe nord-sud, le champ électrique de l'onde électromagnétique rayonnée sera parallèle aux méridiens et le champ magnétique de l'onde aura la même direction que les parallèles géographiques.

Dipôle court

Courte antenne trianglulaire servant de dipôle court.

Un dipôle court est un dipôle réalisable pratiquement formé par deux conducteurs de longueur totale \scriptstyle{L} très petite comparée à la longueur d'onde \scriptstyle{\lambda}. Les deux conducteurs sont alimentés au centre du dipôle (voir dessin). On prend comme hypothèse que le courant est maximum au milieu du dipôle (là ou il est alimenté) et qu'il décroît linéairement jusqu'à zéro aux extrémités du dipôle. Le courant circule dans le même sens dans les deux bras du dipôle: vers la droite sur les deux ou vers la gauche sur les deux. Le champ lointain \scriptstyle{E_\theta} de l'onde électromagnétique rayonnée par ce dipôle est :

E_\theta={-jI_\circ\sin\theta\over 4\varepsilon_\circ c r}{L\over\lambda}e^{j\left(\omega t-kr\right)}
Rayonnement du dipôle élémentaire.
Rayonnement du dipôle élémentaire.

L'émission est maximale dans le plan perpendiculaire au dipôle et zéro dans la direction des conducteurs, qui est la même que la direction du courant.

Le diagramme d'émission a la forme d'un tore de section circulaire (image de gauche) et de rayon interne nul. Dans l'image à droite le dipôle est vertical et il est au centre du tore.

À partir de ce champ électrique on peut calculer la puissance totale émise par ce dipôle et à partir de ça, calculer la partie résistive de l'impédance série de ce dipôle:

R_{serie}=80\pi^2\left({L\over\lambda}\right)^2 ohms pour \scriptstyle{L \ll \lambda}

mais en revanche :

R_{serie}=20\pi^2\left({L\over\lambda}\right)^2 ohms pour \scriptstyle{L < \lambda}

Gain d'une antenne

Le gain d'une antenne est défini comme le rapport des puissances par unité de surface de l'antenne donnée et d'une antenne hypothétique isotrope:

G={\left({P\over S}\right)_{ant}\over{\left({P\over S}\right)_{iso}}}

La puissance par unité de surface transportée par une onde électromagnétique est :

\textstyle{\left({P\over S}\right)_{ant}}=\textstyle{1\over2}c\varepsilon_\circ E_\theta^2\simeq\textstyle{{1\over120\pi}}E_\theta^2

La puissance par unité de surface émise par une antenne isotrope alimentée avec la même puissance est:

\textstyle{\left({P\over S}\right)_{iso}}=\textstyle{{1\over2} R_{serie}I_\circ^2\over4\pi r^2}

En remplaçant les valeurs pour le cas d'un dipôle court, le résultat final est:

G=\textstyle{{\pi\left({L\over\lambda}\right)^2\over \varepsilon_\circ c{2\pi\over3\varepsilon_\circ c}\left({L\over\lambda}\right)^2}} = 1,5 = 1,76 dBi

Les dBi sont les décibels du gain par rapport à une antenne isotrope.

Dipôle demi-onde

Dipôle lambda sur 2 antennes.

Un dipôle \scriptstyle{\lambda\over 2} ou dipôle demi-onde est une antenne formée par deux conducteurs de longueur totale égale à une demi longueur d'onde. Cette longueur n'a rien de remarquable du point de vue électrique. L'impédance de l'antenne ne correspond ni à un maximum ni à un minimum. L'impédance n'est pas réelle bien qu'elle le devienne pour une longueur du dipôle proche (vers \scriptstyle{0,46\lambda}). La seule particularité de cette longueur est que les formules mathématiques se simplifient énormément.

Dans le cas du dipôle \scriptstyle{\lambda\over 2}, on prend comme hypothèse que l'amplitude du courant le long du dipôle à une forme sinusoïdale

\textstyle{I=I_\circ e^{j\omega t}\cos{k\ell}}

Pour \scriptstyle{\ell=0}, le courant vaut \scriptstyle{I_\circ} et pour \scriptstyle{\ell={\lambda\over4}}, le courant vaut zéro.

Malgré les simplifications de ce cas particulier, la formule du champ éloigné est difficile à traiter :

\textstyle{E_\theta={-jI_\circ\over 2\pi\varepsilon_\circ c r}}{\cos\left(\scriptstyle{\pi\over 2}\cos\theta\right)\over\sin\theta}e^{j\left(\omega t-kr\right)}

Néanmoins, la fraction \textstyle{{\cos\left(\scriptstyle{\pi\over 2}\cos\theta\right)\over\sin\theta}} n'est pas très differente de \scriptstyle{\sin\theta}.

Le résultat est un diagramme d'émission un peu aplati.

Diagramme du rayonnement pour lambda /2.
Diagramme en perspective du rayonnement lambda /2.

L'image de gauche montre la section du diagramme d'émission. Pour comparaison, la section du diagramme d'émission d'un dipôle court apparaît en pointillés. Ils ne sont pas très différents. L'image de droite montre le même diagramme d'émission en perspective.

Cette fois nous ne pouvons pas calculer analytiquement la puissance totale émisse par l'antenne. Un calcul numérique simple nous mène à une valeur de résistance série de :

\textstyle{R_{serie}=73}ohms
Impédance d'un dipôle.

Mais ce n'est pas suffisant pour caractériser l'impédance du dipôle qui comporte aussi une partie imaginaire. Le plus simple c'est de la mesurer. Dans l'image de droite on trouve les parties réelle et imaginaire de l'impédance pour des longueurs de dipôle qui vont de

\scriptstyle{0,4\,\lambda}

à

\scriptstyle{0,6\,\lambda}

Le gain de cette antenne est :

\textstyle{G={120\over R_{serie}}={120\over 73}}= 1,64 = 2,14 dBi

Voici un tableau avec les gains d'antennes dipôle d'autres longueurs (Les gains ne sont pas donnés en dBi) :

Gain des antennes dipolaires
longueur en \scriptstyle{\lambda} Gain
L \scriptstyle{\ll\lambda} 1.50
0.5 1.64
1.0 1.80
1.5 2.00
2.0 2.30
3.0 2.80
4.0 3.50
8.0 7.10

Hauteur effective de l'antenne

Lorsque le dipôle baigne dans un champ électrique généré par l'antenne émettrice, une tension est induite dans le circuit connecté à la sortie de l'antenne. Celle-ci s'exprime par :

V = heEeff

Eeff est la valeur efficace du champ électrique en V/m auquel est soumis l'antenne et he sa hauteur effective en m, cette dernière étant différente de sa longueur physique. Ainsi pour un dipôle demi-onde :

h_e=\frac{\lambda}{\pi}

Bibliographie

Dipôle élémentaire, court et \scriptstyle{{\lambda\over 2}} :

  • (en) Frederick E. Terman, Electronic Radio and Engineering, MacGraw-Hill (ISBN 0070635099)
  • (en) Richard Phillips Feynman, Robert Leighton et Matthew Sands, Lectures on physics, Addison-Wesley (ISBN 0-8053-9045-6)
  • (en) Wolfgang Panofsky et Melba Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley (ISBN 0486439240)

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