Madhava de Sangamagrama

Madhava de Sangamagrama (1350 - 1425) était un mathématicien indien, père de l'analyse mathématique.

Calcul de pi

Vers 1400, Madhava de Sangamagrama trouve une série permettant de calculer π, la première :

${\pi} = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots\!$

Cette série, qui est en fait un cas particulier de :

$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}$,

est maintenant connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz^[1],[2] ou série de Gregory-Leibniz depuis que la formule a été redécouverte par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVII^e siècle. Malheureusement, la vitesse de convergence de cette série est trop lente pour pouvoir calculer, en pratique, plusieurs décimales : environ 4 000 termes sont nécessaires pour arriver à la précision qu’avait atteint Archimède. Cependant, en transformant la série de la façon suivante :

$\pi = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-3)^{-k}}{2k+1} = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-\frac{1}{3})^k}{2k+1} = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right),$

Madhava a été capable de donner une valeur approchée de π de 3,14159265359, qui a 11 décimales correctes. Le record a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi, qui a réussi à donner 16 décimales.

Notes et références

1. ↑ (en) George E. Andrews (en), Richard Askey (en) et Ranjan Roy, Special Functions, Cambridge University Press, 1999 (ISBN 978-0-521-78988-2), p. 58 .
2. ↑ (en) R. C. Gupta, On the remainder term in the Madhava-Leibniz’s series, vol. 14, t. 1-4, Ganita Bharati, 1992, p. 68-71 .