Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

La majoration des accroissements finis est une adaptation de l’inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles.

Énoncé : Soient a < b deux réels, E un espace vectoriel normé et deux fonctions

$f:[a,b]\to E\quad\text{et}\quad g:[a,b]\to\R$

supposées continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[.

Si

$\forall t\in]a,b[\quad\|f'(t)\|\le g'(t)$

alors

$\|f(b)-f(a)\|\le g(b)-g(a).$

Ce théorème est d'autant plus surprenant qu’il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n’y a pas d'égalité des accroissements finis, mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par f(t) = e^it qui satisfait f(0) = f(2π) alors que sa dérivée ne s'annule pas sur [0,2π].

En particulier si, pour une certaine constante M (nécessairement positive ou nulle), on a

$\forall t\in]a,b[\quad\|f'(t)\|\le M$

alors

$\|f(b)-f(a)\|\le M(b-a).$

Il en découle qu’une fonction dérivable dont la dérivée est nulle ne peut être que constante.

Démonstration

Pour ε > 0 fixé, on introduit l'application φ_ε, du segment [a,b] dans ℝ, définie par $\varphi_{\varepsilon}(t)=\|f(t)-f(a)\|-g(t)-\varepsilon t$. Cette application est continue, donc atteint son minimum en un certain point c de [a,b]. Si nous prouvons que ce point c n'est autre que b, l'objectif sera atteint puisqu'on aura φ_ε(b) ≤ φ_ε(a) c'est-à-dire ||f(b) − f(a)|| ≤ g(b) − g(a)+ε(b − a), et cela pour tout ε > 0, d'où ||f(b) − f(a)|| ≤ g(b) − g(a). Pour montrer que c = b, il suffit de vérifier qu'en tout point t < b du segment [a,b], φ_ε n'est pas minimale. La raison en est que pour s suffisamment proche de t, on a $\left\|\frac{f(s)-f(t)}{s-t}\right\|-\frac\varepsilon2<\|f'(t)\|\le g'(t)<\frac{g(s)-g(t)}{s-t}+\frac\varepsilon2$. Si de plus s > t, on en déduit que $\|f(s)-f(t)\|<g(s)-g(t)+\varepsilon(s-t)$. Par inégalité triangulaire on a par conséquent, pour s > t suffisamment proche de t, φ_ε(s) < φ_ε(t), ce qui prouve que φ_ε n'est minimale (même localement) en aucun t < b et termine la preuve.

Remarques.

• φ_ε est en fait strictement décroissante.
• Une autre idée de démonstration est de se ramener au cas d'une fonction f à valeurs réelles en composant f par une forme linéaire continue arbitraire de norme 1, puis d'invoquer le théorème de Hahn-Banach.