Image directe

L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application $f:X\rightarrow Y$ est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

$f(A) = \{f(x) / x \in A\}=\{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}$.

Exemples

• On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :

Im(f) = f(X).

• On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f.

• Considérons l'application ${}^{f:\{1, 2, 3\}\to\{a, b, c, d\}}$ définie par ${}^{1\mapsto a,~2\mapsto c,~3\mapsto d.}$ L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties A₁ et A₂ de X,

$f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)$.

Plus généralement, pour toute famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de X,

$f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i)$.

• Pour toutes parties A₁ et A₂ de X,

$f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$.

L'inclusion dans l'autre sens est fausse si f n'est pas injective. Considérons par exemple une application f constante (Im(f) = {c}) sur un ensemble possédant au moins deux parties disjointes non vides, A₁ et A₂. Alors ${}^{f\left(A_1 \cap A_2\right)=f(\varnothing)=\varnothing}$, tandis que ${}^{f(A_1)\cap f(A_2)=\{c\}\cap\{c\}=\{c\}}$.

Plus généralement, pour toute famille non vide $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de X,

$f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)$.

• Pour toute partie B de Y,

$f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)$

.

Démonstration

• Pour tout élément y de f(f ^{− 1}(B)), il existe un élément x de l'image réciproque f ^{− 1}(B) (c'est-à-dire un élément x de X dont l'image f(x) appartient à B) tel que y = f(x), si bien que y appartient à Im(f), mais aussi à B.
• Réciproquement, pour tout y appartenant à la fois à Im(f) et à B, il existe au moins un élément x de X tel que y = f(x), et un tel x vérifie ${}^{f(x)\in B}$ c'est-à-dire ${}^{x\in f^{-1}(B)}$, donc son image y appartient à f(f ^{− 1}(B)).

En particulier si f est surjective alors f(f ^{− 1}(B)) = B.

• Pour toute partie A de X,

$A\subset f^{-1}(f(A))$.

En effet, ${}^{x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A))}$. En général on a seulement une inclusion et pas une égalité, car la réciproque de la première implication est fausse si f n'est pas injective.

Articles connexes

• Image réciproque
• Théorie des ensembles