Element (mathematiques)

Element (mathematiques)

Élément (mathématiques)

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En mathématiques, un ensemble est constitué d'objets appelés éléments de cet ensemble, on dit également qu'un tel objet appartient à l'ensemble en question[Note 1]. On note xM pour « x est élément de M », (ou « x appartient à M »).

Sommaire

Exposition naïve

La définition historique donnée par Cantor en 1895[1] était la suivante :

« Un ensemble est une collection M d'objets issus de notre intuition ou de notre pensée (que nous appellerons éléments de M), considérée comme un tout. »

Cette définition un peu floue permet déjà de présenter une version intuitive de la théorie des ensembles. Voir les articles Ensemble et Théorie naïve des ensembles.

Par exemple, si M = {1,2,3}, 1, 2 et 3 sont les éléments de M.

On prendra garde à ne pas confondre « élément » et « sous-ensemble » ; dans l'exemple qui précède {1,2} et {3}, parmi d'autres, sont des sous-ensembles de M mais n'en sont pas des éléments[Note 2].

Exposition en logique formelle

Les exposés contemporains de la théorie des ensembles la décrivent le plus souvent comme une théorie égalitaire du premier ordre comportant un seul symbole de prédicat (outre =) : le symbole de prédicat binaire \in[2].

Dans cette présentation des choses, la phrase « x est élément de M » n'est que la retranscription verbale de la formule :

x\in M.

Éléments d'ensembles, éléments de classes

Dans l'expression

x\in M

la lettre M désigne souvent un ensemble. C'est notamment ce que suppose la présentation formelle donnée plus haut.

Une théorie trop naïve des ensembles conduisant à des paradoxes fameux, il est parfois utile de considérer une relation d'appartenance d'un élément x à un objet M qui n'est pas un ensemble mais une classe. C'est par exemple le cas en théorie des catégories ; dans ce contexte on appelle toutefois x un « objet » plutôt qu'un « élément ».

Dans le formalisme des classes de la théorie la plus couramment utilisée, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, les classes s'identifient à des prédicats unaires du langage. Dire que x est élément de la classe M correspondant au prédicat P, c'est simplement une autre façon de dire : « P(x) ».

Ur-elements

Dans la théorie de Zermelo-Fraenkel, la plus couramment utilisée, les éléments sont eux-mêmes des ensembles. Dans d'autres versions de la théorie des ensembles, cela n'est pas vrai : certains objets, appelés « atomes », ou « ur-elements », sont susceptibles d'être éléments d'ensembles sans être eux-mêmes des ensembles.

Le terme « élément » peut dans ce cas désigner un objet admis dans le système mathématique de référence, même si cet objet n'est pas un ensemble : nombres, points, fonctions (ce sont des ensembles) dans les systèmes les plus usuels, mais même planètes, molécules ou grenouilles.[3]

Éléments remarquables en algèbre

Dans l'étude de structures algébriques, on est souvent amené à donner des noms particuliers à des éléments de représentants de la structure ayant des propriétés remarquables : on parle ainsi d'élément neutre, d'élément inversible, d'élément absorbant, etc...

Notes

  1. Comme le fait remarquer Felix Hausdorff dans son exposé de la théorie des ensembles ((en) Felix Hausdorff, Set theory, AMS Chelsea Publishing, 1957 (rééd. 2000) (1937 pour l'édition allemande) (ISBN 0821838350) , page 11), si une telle formulation a la prétention d'être une définition, « on pourra objecter qu'on a défini idem per idem voire obscurum per obscurius. Il faut considérer qu'il n'y a pas là une définition mais un procédé d'exposition, une référence à un concept primitif familier à tous (...) »
  2. Du moins si on sait prouver que {1,2} ≠ 1, {1,2} ≠ 2, {1,2} ≠ 3,{3} ≠ 1, {3} ≠ 2 et {3} ≠ 3.

Références

  1. (de) Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Teubner, Leipzig, 1894-1895 , page 481 [Lire en ligne sur Gallica (page consultée le 14 avril 2009)]
  2. Voir René Cori, Daniel Lascar, Logique mathématique 2 [détail des éditions], chapitre 7, p. 113-114 notamment
  3. Ces trois suggestions sont proposées par (en) Yiannis Moschovakis, Notes on set theory, Springer, 2000 (ISBN 9780387287232)  p. 29.
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