Groupe simple d'ordre 168

Groupe simple d'ordre 168

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, un groupe simple est un groupe qui n'admet aucun sous-groupe distingué propre. La classification des groupes simples finis montre qu'il est possible de les ranger en quatre catégories : les groupes cycliques d'ordre un nombre premier, les groupes alternés, les groupes de type Lie et les groupes sporadiques.

Le plus petit groupe simple de type Lie est d'ordre 168 ; il est le premier élément de sa catégorie. C'est, à isomorphisme près, le seul groupe simple d'ordre 168[1]. Il peut être vu comme le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps F2, ou encore comme le groupe spécial linéaire (des automorphismes de déterminant égal à 1) d'un espace de dimension 2 sur le corps F7. Il peut aussi être vu comme le groupe de Galois d'une équation du septième degré, ou le groupe des automorphismes laissant invariant la quartique de Klein la courbe du plan projectif complexe définie par le polynôme P suivant :

P(X) = X^3\cdot T + Y^3\cdot T + Z\cdot T^3 \;

Ce groupe intervient par exemple dans une démonstration du dernier théorème de Fermat pour le paramètre n égal à 7.

Sommaire

Groupe linéaire GL3(F2)

Classe de conjugaison

Article détaillé : Classe de conjugaison.

Etudions le groupe linéaire d'un espace vectoriel E de dimension 3 sur le corps fini F2 à deux éléments. Ce groupe est noté G.

Si φ est un élément de G et (e1, e2, e3) une base de E, φ(e1) peut prendre 7 valeurs distinctes, toutes celles différentes du vecteur nul. Le vecteur φ(e2) peut être choisi dans un ensemble de 6 valeurs, à savoir tous les vecteurs non colinéaires à φ(e1). Enfin, φ(e3) est un vecteur quelconque hors du plan engendré par φ(e1) et φ(e2), soit 4 valeurs possibles, ce qui établit la proposition suivante :

  • Le groupe GL3(F2) est d'ordre 168.

Le tableau des classes de conjugaison du groupe est le suivant :

Matrice d'un représentant Polynôme minimal Ordre d'un élément Cardinal Ordre du centralisateur
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
X + 1
1
1
168
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
X2 + 1
2
21
8
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
X3 + 1
3
56
3
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
X3 + X + 1
7
24
7
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
X3 + X2 + 1
7
24
7
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
X3 + X2 + X + 1
4
42
4

La première colonne du tableau indique une matrice d'un représentant quelconque de la classe dans une base bien choisie. La deuxième colonne est le polynôme minimal d'un représentant, la troisième colonne est l'ordre d'un élément et la quatrième indique l'ordre de son centralisateur, c'est-à-dire le groupe des éléments qui commutent avec le représentant.

Caractère

La détermination des classes de conjugaison permet d'établir la table des caractères du groupe. Comme il existe 6 classes de conjugaison, il existe exactement 6 représentations irréductibles, à un isomorphisme près dans des espaces vectoriels complexes. Les classes sont nommées en fonction de l'ordre de leurs éléments et les représentations en fonction de leur dimension. Comme il existe 2 représentations de dimension 3 et deux classes composées d'éléments d'ordre 7, ces classes et ces représentations sont indexées par une lettre. On obtient la table suivante :

Car. irr. C1 C2 C3 C4 C7a C7b
χ1 1 1 1 1 1 1
χ3a 3 -1 0 1 1/2.(-1 + i√7) 1/2.(-1 - i√7)
χ3b 3 -1 0 1 1/2.(-1 - i√7) 1/2.(-1 + i√7)
χ6 6 2 0 0 -1 -1
χ7 7 -1 1 -1 0 0
χ8 8 0 -1 0 1 1

Simplicité

Article détaillé : groupe simple.
  • Le groupe GL3(F2) est simple.

Une manière simple de s'en rendre compte est d'étudier la table des caractères. À l'exception du caractère trivial, ils sont tous associés à des représentations fidèles, c'est-à-dire injectives. Pour le vérifier il suffit de remarquer que la trace de l'identité n'est obtenue que pour l'image de l'élément neutre. Si le groupe possédait un sous-groupe distingué non trivial, il existerait un morphisme de G non injectif et non trivial. Le morphisme et une représentation du groupe d'arrivée fournirait une représentation non injective et non triviale.

Il existe aussi une démonstration directe[2]

Autres constructions

Notes et références

Notes

  1. Pour une démonstration, voir par exemple J.-P. Serre, Groupes finis, Cours à l'École Normale Supérieure de Jeunes Filles, 1978/1979, révision 2004, pp. 58-59, en ligne, ou encore D.S. Dummit et R.M. Foote, Abstract Algebra, 3e éd., Wiley, 2004, pp. 207-212. Démonstration sous forme d'exercice détaillé dans D. Perrin, Cours d'algèbre, Paris, Ellipses, 2004, p. 115.
  2. D. Perrin La quartique de Klein et le groupe simple d’ordre 168 Université Paris-sud Orsay p 13

Liens externes

Bibliographie


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe simple d'ordre 168 de Wikipédia en français (auteurs)

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