Formule de Betti-Ritter

En astrophysique, la formule de Betti-Ritter est la formule donnant l'énergie potentielle de gravitation d'un objet autogravitant sphérique, dont l'équation d'état est celle d'un polytrope, c'est-à-dire que sa pression P et sa masse volumique μ sont reliées par la formule

P = κμ^γ,

l'exposant γ étant appelé indice adiabatique.

Formule

Pour un objet de masse M et de rayon R, la formule de Betti-Ritter stipule que l'énergie potentielle de gravitation U s'écrit

$U = - \frac{3}{5} \frac{\gamma - 1}{\gamma - \frac{6}{5}} \frac{G M^2}{R}$,

G étant la constante de gravitation.

Cette formule peut être réécrite en introduisant l'indice polytropique n défini par

$\gamma = 1 + \frac{1}{n}$,

auquel cas l'on a

$U = - \frac{3}{5 - n} \frac{G M^2}{R}$.

Cas particulier

La situation $\gamma = \infty$ correspond à un fluide incompressible (voir Indice polytropique). La formule donne alors le résultat classique

$U_{\gamma = \infty} = - \frac{3}{5} \frac{G M^2}{R}$.

Démonstration

La simplicité de la formule de Betti-Ritter est trompeuse : sa démonstration est en fait relativement complexe. Elle se fait par l'étude de l'équation décrivant la configuration d'équilibre d'un polytrope soumis à sa propre gravité, équation appelée équation de Lane-Emden (voir article correspondant).

Interprétation

La formule de Betti-Ritter indique que l'énergie potentielle de gravitation est négative tant que l'indice adiabatique est plus grand que 6/5. Pour les valeurs de γ inférieures, elle n'est plus définie car il n'existe pas de configuration de masse et de rayon finis (voir Équation de Lane-Emden). Le fait que U s'annule pour γ = 6/5 peut paraître surprenant car la théorie de l'équation de Lane-Emden indique qu'un polytrope autogravitant est instable quand γ descend en dessous de 4/3 et non 6/5 (qui est une valeur plus basse). L'explication à ce paradoxe apparent provient de ce que la quantité qui détermine la stabilité de la configuration n'est pas l'énergie potentielle de gravitation seule, mais la somme de celle-ci et de l'énergie interne. Le calcul indique que c'est effectivement pour γ = 4/3 que cette dernière s'annule.

Voir aussi

• Polytrope
• Indice polytropique
• Équation de Lane-Emden