Fonction caractéristique (théorie des ensembles)


Fonction caractéristique (théorie des ensembles)
Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne les fonctions caractéristiques en théorie des ensembles. Pour les articles homonymes, voir Fonction caractéristique. Pour les fonctions indicatrices en analyse convexe, voir Fonction indicatrice (analyse convexe).
Le graphe de la fonction indicatrice d'un sous-ensemble à deux dimensions d'un carré.

En mathématiques, une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de E de tout élément de E.

Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :

\begin{array}{rcl} \chi_F : E & \longrightarrow & \{0,1\}  \\
x & \longmapsto & \left\{\begin{matrix}  1 \ \mbox{si} \ x \ \in \ F \\ 0 \ \mbox{si} \ x \ \notin \ F \end{matrix}\right. \end{array}

Une autre notation souvent employée pour la fonction caractéristique de F est 1F, ou encore 1\!\!1_F, parfois aussi \operatorname{I} (i majuscule).

Par exemple, la fonction de Dirichlet est la fonction caractéristique de \mathbb{Q} dans \mathbb{R} : elle est définie sur \mathbb{R} et vaut 1 si x est rationnel, 0 sinon. Comme \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}, c'est une fonction partout discontinue.

Sommaire

Attention

Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination a pour avantage d'éviter la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité.

La fonction 1F peut désigner la fonction identité.

Propriétés

Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors

\left( A \subseteq B\right)\ \Leftrightarrow\ \left(\chi_{A} \le \chi_{B}\right),

et


\begin{align}
\chi_{\overline{A}}
&=
1 - \chi_A,
\\
\chi_{A\cap B}
&=
\min\{\chi_A,\chi_B\} = \chi_A \times \chi_B,
\\ 
\chi_{A\cup B}
&=
\max\{{\chi_A,\chi_B}\} = \chi_A + \chi_B - \chi_A \times \chi_B,
\\
\chi_{A \triangle B}
&=
\chi_A + \chi_B - 2 \chi_A \times \chi_B.
\end{align}

Mesurabilité

Si (E, Ω) est un espace mesurable (c'est-à-dire si Ω est une tribu sur E), une partie de E est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable.

Voir aussi

Références

  • (en) Gerald Folland (en), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, Wiley & Sons, 1999
  • (en) Thomas H. Cormen (en), Charles Leiserson (en), Ronald Rivest et Clifford Stein (en), Introduction to Algorithms (en), Second Edition, MIT Press et McGraw-Hill, 2001 (ISBN 978-0-262-03293-3), § 5.2 : Indicator random variables, p. 94–99
  • (en) Martin Davis (en) ed., The Undecidable, Raven Press Books, New York, 1965
  • (en) Stephen Cole Kleene (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff et North Holland, Netherlands, 6e éd. corrigée, 1971
  • (en) George Boolos (en), John P. Burgess (en) et Richard Jeffrey (en), Computability and Logic, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 978-0-521-00758-0)
  • (en) Lotfi Zadeh, "Fuzzy sets". Information and Control 8 (1965), p. 338–353, pdf
  • (en) Joseph Goguen (en),"L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 (1967), p. 145–174

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