Fonction caractéristique (probabilités)


Fonction caractéristique (probabilités)

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur \scriptstyle\ \R\ par

\begin{align}
\varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]
\\
&=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right].
\end{align}

Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur \scriptstyle\ 2\pi \, près suivant la convention) de la densité. Il arrive que l'on prenne \scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].


Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans \scriptstyle\ \R^d\ est la fonction à valeurs complexes définie sur \scriptstyle\ \R^d\ par

\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,

\scriptstyle\ \langle u , X \rangle\, est le produit scalaire de u avec X.


Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par

G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]

avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc

\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);

cette fonction G est donc en fait un prolongement de \scriptstyle\ \phi_{X}.


Propriétés de la fonction caractéristique

  • Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où \phi_X=\phi_Y\, (égalité de fonctions) équivaut à "X\, et Y\, ont la même loi."
  • Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, \phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}. Plus généralement, si X_1, \ldots, X_n sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors \phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}.


En appliquant alors la transformée de Fourier à φX + Y cela permet de retrouver la loi de X+Y.


  • Il y a aussi une relation entre les moments et la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Lorsque les moments existent et que la série converge :
\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^kμk est le moment d'ordre k.
  • Cette relation sert parfois pour calculer la moyenne (premier moment) et la variance d'une variable aléatoire. Plus explicitement
1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)
\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0).
  • La relation suivante sert, par exemple, à calculer la fonction caractéristique d'une variable centrée réduite, à partir de la fonction caractéristique de la variable de départ :
\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}.

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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