Espace normal

Un espace topologique séparable X est dit normal lorsque, pour tout couple de fermés disjoints E et F de X, il existe un couple d'ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.

En mathématiques, un espace normal est un cas particulier d'espace topologique. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze.

Elle provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923^[1]. Nicolas Bourbaki précise à son sujet : « Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de question (topologie algébrique), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilités de pathologie ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'espace paracompact, introduite en 1944 par Jean Dieudonné. »^[1]

Définition

Soit X un espace topologique. On dit que X est normal^[2] s'il est séparé, et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T₄ :

pour tout couple d'ensembles fermés A et B disjoints, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que A soit inclus dans U et B dans V.

Propriétés

Propriétés élémentaires

• Si X et Y sont deux espaces topologiques homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi^[3].

En effet la propriété d'être normal est, comme tous les axiomes de séparation, formulée de façon à être invariante par homéomorphisme.

• Un espace topologique X métrisable est normal^[4].

Autrement dit : si la topologie de X est induite par une distance, alors X est normal. En fait, il est même "parfaitement normal" (donc "complètement normal"), comme démontré dans l'article Axiome de séparation (topologie).

• Un espace compact X est normal^[5].

Une démonstration figure dans l'article espace compact.

Conditions nécessaires et suffisantes

Il existe de nombreuses caractérisations de la normalité. Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en deux, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais la seconde est bien plus technique :

• Un espace topologique séparé X est normal si, et seulement si, pour tout fermé A de X et tout ouvert U contenant A, il existe un ouvert V contenant A tel que l'adhérence de V soit incluse dans U^[6] :

$A\subset V\subset \overline{V} \subset U$

Démonstration

• Supposons que X soit normal, les fermés A et ^cV, où ^cV désigne le complémentaire de V, sont disjoints donc il existe deux ouverts disjoints U et U₁ tels que U contienne A et U₁ contienne ^cV. Le complémentaire ^cU₁ contient U donc contient l'adhérence de U et cette adhérence est incluse dans V, ce qui démontre la première implication.

• Réciproquement, supposons que pour tout fermé A de X et tout ouvert U contenant A, il existe un ouvert V contenant A tel que l'adhérence de V soit incluse dans U. Soit A et B deux fermés disjoints de X, A est inclus dans le complémentaire de B, ce qui montre l'existence d'un ouvert U tel que :

$A\subset U \subset \overline{U}\subset {}^cB$

Les ouverts U et le complémentaire de l'adhérence de U vérifient les propriétés demandées.

• Un espace topologique séparé X est normal si, et seulement si, pour tous fermés disjoints A et B de X, il existe une fonction f continue qui vaut 1 sur A et 0 sur B^[7].

Cette deuxième condition nécessaire et suffisante découle de la précédente et du lemme d'Urysohn, dont l'article détaillé propose une démonstration.

Notes et références

Notes

1. ↑ ^{a et b} Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions] éd. 2006, p. 205
2. ↑ S. Lang, Analyse Réelle
3. ↑ (en) J. Dugundji, Topology, Wm. C. Brown Publishers, 1989 (ISBN 0697068897), p. 144
4. ↑ F. Paulin, Topologie, analyse et calcul différentiel, p. 36
5. ↑ S. Lang, Analyse Réelle, p. 30
6. ↑ S. Lang, Analyse Réelle, p. 36
7. ↑ S. Lang, Analyse Réelle, p. 37

Références

• (en) M. Henle A combinatorial introduction to topology Dover Publications (1994) (ISBN 0486679667)
• S. Lang, Analyse Réelle InterEditions, Paris (1977) (ISBN 9782729600594)
• F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel École Normale supérieure (2008-2009)