Espace de Besov

Espace de Besov

En analyse fonctionnelle, les espaces de Besov sont des espaces d'interpolation intermédiaires entre les espaces de Sobolev. Les espaces de Sobolev de degré non entier sont obtenus par interpolation complexe à partir des espaces de Sobolev de degré entier. Les espaces de Besov sont eux aussi obtenus par interpolation à partir des espaces de Sobolev de degré entier, mais en utilisant la méthode d'interpolation réelle. La principale propriété des espaces de Besov est qu'ils sont des espaces de traces d'espaces de Sobolev.

Sommaire

Définition des espaces de Besov

Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n}. Soient s, p, q tels que 0<s<\infty, \; 1 \le p,q \le\infty. On note m le plus petit entier supérieur à s et \theta=\frac{s}{m}. On note Jθ,q(X,Y) l'espace interpolé des espaces de Banach X et Y par la méthode d'interpolation J. Par définition, l'espace de Besov \displaystyle B^{s;\;p,q}(\Omega) est l'espace interpolé des espaces Lp(Ω) de Lebesgue et Wm,p(Ω) de Sobolev par la méthode d'interpolation réelle dite méthode J :

B^{s;p,q}(\Omega)= J_{\frac{s}{m} ,q}( L^{p}(\Omega),\;W^{m,p}(\Omega))

C'est un espace de Banach dont la norme est celle fournie par la méthode d'interpolation : \|.\|_{B^{s;p,q}(\Omega) }= \|.\|_{J_{\frac{s}{m} ,q}( L^{p}(\Omega),\;W^{m,p}(\Omega)) }

Il y a d'autres manières de définir les espaces de Besov sur \R^{n}. On en déduit les espaces de Besov sur Ω par restriction, comme pour les espaces de Sobolev. Si Ω est suffisamment régulier, toutes ces définitions sont équivalentes.

Propriété caractéristique des espaces de Besov

On note (x,t), un point de \R^{n+1} x \in \R^{n} \text{ et } t \in \R. La trace u(x) dans \R^{n} d'une fonction régulière U(x,t) définie sur \R^{n+1} est donnée par u(x) = U(x,0).

Théorème : Soit 1<p<\infty et u une fonction mesurable sur \R^{n}. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(a) Il existe une fonction U \in W^{m,p}(\R^{n+1}) telle que u est la trace de U
(b) u \in B^{m-(\frac{1}{p});p,p}(\R^{n})

Théorèmes de plongement pour les espaces de Besov

Théorème : Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n}, suffisamment régulier (par exemple Ω est borné et sa frontière est Lipschitz). Soient s, p, q tels que 0<s<\infty, \; 1 \le p,q \le\infty. Alors on a les inclusions suivantes avec injections continues :

Si sp < n, alors B^{s;p,q}(\Omega)\; \subset \; J_{\frac{p-1}{p} ,q}( L^{1}(\Omega),\;L^{\infty}(\Omega))
Si sp = n, alors B^{s;p,1}(\Omega)\; \subset \; C^{0}_{B}(\Omega) \; \subset \; L^{\infty}(\Omega))
Si sp > n, alors B^{s;p,q}(\Omega)\; \subset \; C^{0}_{B}(\Omega)

Ici  C^{0}_{B}(\Omega) désigne l'ensemble des fonctions continues et bornées sur Ω


Références

  • R.A. Adams, J.J.F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press, (ISBN 0-12-044143-8).
  • Johnson Raymond, Review of Theory of function spaces by Hans Triebel, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 13, 76-80.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace de Besov de Wikipédia en français (auteurs)

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