Espace de Lebesgue

Espace de Lebesgue

Espace Lp

En mathématiques, les espaces Lp sont des espaces de fonctions dont la puissance p-ième de la fonction est intégrable, au sens de Lebesgue.

Les espaces Lp sont très utilisés en analyse (et particulièrement en analyse fonctionnelle), puisqu'ils n'imposent aux fonctions manipulées qu'une régularité relativement faible (l'intégrabilité), sans par exemple demander de la continuité ou de la dérivabilité.

Sommaire

Définition formelle

Avant de définir les espaces Lp, on définit généralement les espaces \mathcal L^p (qui ne sont cependant presque pas utilisés en dehors de cette définition).

Espaces Lp

Pour tout réel p supérieur ou égal à 1, l'espace \mathcal L^p(X,A,\mu) est l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles (ou complexes selon les choix d'auteur), définies et mesurables sur l'espace mesuré (X,A,μ) et dont la p-ième puissance est μ-intégrable. On définit \|\cdot\|_p comme :

\|f\|_p = {\left[\int_X|f|^p \,d\mu\right]}^{1/p}.

Autrement dit,

\mathcal L^p(X,A,\mu) = \left\{ f:X\rightarrow\mathbb K ; \mbox{ f mesurable et } \|f\|_p < +\infty \right\}

Cet espace est un espace vectoriel semi-normé car deux fonctions qui ne diffèrent que d'un ensemble de mesure nulle ont la même semi-norme \|\cdot\|_p.

L'espace Lp(X,A,μ) est ensuite défini comme l'espace vectoriel quotient de \mathcal L^p(X,A,\mu) par la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ». Ainsi, \|\cdot\|_p est une norme sur Lp(X,A,μ).

Dans la théorie de Riemann, l'espace Lp(R) se définit par un procédé de complétion.

Espace L

Article détaillé : Espace L∞.

L'espace \mathcal L^\infty(X,A,\mu) est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées presque partout).

Ensuite, l'espace L^\infty(X,A,\mu) est l'espace vectoriel quotient de \mathcal L^\infty(X,A,\mu) par la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Exemples

Si X est l'ensemble N des entiers naturels, muni de la tribu grossière, et que μ est la mesure de comptage, l'espace Lp(X,A,μ) n'est autre que l'espace lp(N) des suites réelles dont la p-ième puissance est sommable.

Avec X = R, A la tribu des boréliens et μ la mesure de Lebesgue

  • la fonction f(x) = \frac{1}{x} définie sur [1,+\infty[ est dans L2, mais pas dans L1 ;
  • la fonction 1_\Q, définie sur R, qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs, est dans L^\infty et est égale, dans L^\infty, à la fonction constante 0 ; du fait que les rationnels sont de mesure nulle dans R.

Propriétés

  • Les espaces Lp (pour p ≥ 1) et L^\infty sont des espaces de Banach et l'espace L2 est un espace de Hilbert lorsqu'on le munit du produit scalaire (f,g) = \int_X f \bar g \,d\mu.
  • En général, si p \neq q, on n'a ni Lp inclus dans Lq, ni Lq inclus dans Lp.
    Cependant si la mesure est finie (comme en probabilités par exemple), alors pour p < q, Lq est inclus dans Lp.
    D'autre part s'il existe ε > 0 tel que toute partie non vide de X est de mesure plus grande que ε, pour p < q, Lp est inclus dans Lq.

Espaces duals

Pour 1 < p < +∞, l'espace dual de Lp est Lq, où q est défini de façon que 1/p + 1/q = 1.

Voir aussi

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