Dualité T


Dualité T

En théorie des cordes et des supercordes la dualité T désigne une dualité particulière sous laquelle un ou plusieurs rayon de compactification est inversé.

Sommaire

Un cas simple

Considérons dans un premier temps le cas le plus simple de dualité T. Si on compactifie la théorie bosonique sur un cercle de rayon R\, alors les états de vide[1] de la théorie |m,n>\, sont doublement quantifiés de la façon suivante:

  • le nombre quantique m\, indique que la corde associée (ou plus précisément son centre de masse) possède un moment m/R\, dans la direction de compactification. Dans le cas où n=0\, on parle alors d'états de moment.
  • le nombre quantique n\, indique que la corde associée est enroulée n\, fois autour de la direction de compactification. Dans cet état fondamental une telle corde possède une longueur nR\, dans cette direction. Dans le cas où m=0\, on parle alors d'états d'enroulement.

L'étude du spectre de la théorie des cordes indique que de tels états[2] possèdent une masse m\, donnée par[3]


m^2={m^2\over R^2}+{n^2R^2\over \alpha'^2}\,

Le premier terme est strictement analogue à la masse d'une particule se déplaçant avec un moment m/R\, dans la direction compacte dans le cadre de la théorie de Kaluza-Klein. Le second terme est naturel puisqu'une corde est un objet possédant une tension \alpha'\,, lui imposer une longueur minimale coûte donc une l'énergie proportionnelle à sa longueur.

On voit alors que le spectre que l'on vient de décrire est invariant sous la transformation


R\leftrightarrow {\alpha'\over R}\,

à condition de procéder simultanément à l'échange


m\leftrightarrow n\,

C'est-à-dire en particulier que les états de moments (qui ont une interpretation particulaire en considérant le centre de masse de la corde) sont échangés avec des états d'enroulement (qui n'ont pas d'interprétation particulaire) au cours de l'opération de dualité T.

L'opération qu'on vient de décrire correspond précisément à ce qu'on entend par dualité T dans ce cas particulier. Du point de vue de l'espace-cible cette opération est tout à fait remarquable: à la subtilité de la constante \alpha'\, [4] près qui permet d'homogénéiser la relation d'inversion de rayon (elle a l'unité d'une longueur au carré), on voit donc que compactifier la théorie des cordes sur un cercle de rayon très petit (ce qui devrait aboutir à une théorie possédant une dimension de moins si on suivait l'intuition issue de la théorie de Kaluza-Klein pour la physique des particules) est strictement équivalente à une théorie des cordes compactifiée sur un cercle de rayon très grand et qui dans la limite de très grand rayon reproduit la théorie originale non compactifiée.

Par ailleurs signalons que contrairement à la symétrie de reparamétrisation qui est une caractéristique commune à toutes les théories de la gravitation incorporant la relativité générale et donc non spécifique à la seule théorie des cordes seule, la dualité T est essentiellement cordiste dans la mesure où pour être réalisée d'un point de vue quantique elle nécessite la prise en compte des états d'enroulement de la corde autour d'une direction de compactification or de tels états ne sauraient exister dans une théorie ou les excitations fondamentales sont seulement des particules (qui fournirait seulement des états de moment mais pas d'états d'enroulement).

dualité T et champ B

Références

(en) J. Polchinski, String theory [détail des éditions] , vol. 1, chapitre 8.

Notes

  1. ou encore états fondamentaux c'est-à-dire en absence de l'application d'opérateur de création.
  2. encore une fois on rappelle qu'il s'agit là des états fondamentaux de la théorie mais la dualité T n'affecte pas les opérateurs de création de la théorie qui permettent d'accéder aux états excités du spectre. Prouver la dualité T sur les états fondamentaux est donc équivalent à la prouver pour le spectre tout entier.
  3. On rappelle que \alpha'\, désigne la constante de couplage de corde
  4. dont on voit d'ailleurs que la présence est nécessaire pour que l'opération puisse avoir un sens ce qui constitue encore une façon de voir que la dualité T est spécifique à la théorie des cordes.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Dualité T de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • dualité — [ dɥalite ] n. f. • 1377, puis 1585, repris 1835; du lat. dualis ♦ Caractère ou état de ce qui est double en soi; coexistence de deux éléments de nature différente. La dualité de l être humain : l âme et le corps. « Alors s établit en moi une… …   Encyclopédie Universelle

  • Dualite T — Dualité T En théorie des cordes et des supercordes la dualité T désigne une dualité particulière sous laquelle un ou plusieurs rayon de compactification est inversé. Sommaire 1 Un cas simple 2 dualité T et champ B 3 Références …   Wikipédia en Français

  • Dualite — Dualité Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Dualité — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Dualité », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) …   Wikipédia en Français

  • dualité — (du a li té) s. f. 1°   Terme de métaphysique. Caractère de ce qui est double en soi. La dualité de l être humain. Le nombre trois était dit parfait, parce qu il est composé de l unité et de la dualité. 2°   Terme de grammaire. Le caractère, l… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • DUALITÉ — n. f. Caractère ou état de ce qui est double. La dualité du pouvoir législatif. La dualité des langues en Belgique …   Dictionnaire de l'Academie Francaise, 8eme edition (1935)

  • dualité — dvejopumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. dualism; duality vok. Dualismus, m; Dualität, f rus. двойственность, f; дуализм, m pranc. dualisme, m; dualité, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Dualité (Géométrie Projective) — La dualité projective, crée par Jean Victor Poncelet (1788 1867), père fondateur de la géométrie projective, bien que beaucoup moins enseignée que la dualité en algèbre linéaire, est probablement la plus belle notion de dualité que l on rencontre …   Wikipédia en Français

  • Dualite de cordes — Dualité de cordes En théorie des cordes ou des supercordes on appelle dualité une équivalence physique entre deux modèles construits a priori de façon différente. Sommaire 1 Introduction 2 Description des dualités 2.1 Dualité perturbative …   Wikipédia en Français

  • Dualité De Cordes — En théorie des cordes ou des supercordes on appelle dualité une équivalence physique entre deux modèles construits a priori de façon différente. Sommaire 1 Introduction 2 Description des dualités 2.1 Dualité perturbative …   Wikipédia en Français