Description lagrangienne

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En dynamique des fluides la description lagrangienne est l'une des deux techniques qui permettent de caractériser un écoulement. Elle consiste à suivre dans le temps les particules^[1] le long de leurs trajectoires : c'est une description intuitive de leur mouvement. Néanmoins la description eulérienne qui repose sur le champ des vitesses est généralement préférée bien qu'elle soit un peu plus abstraite.

Principe

En représentation lagrangienne, la position M à l'instant t de la particule qui se trouvait en M₀ à l'instant 0 est donnée par une relation du type

$M = f(M_0,t)\,$.

Cela correspond à la description paramétrique de la trajectoire en coordonnées cartésiennes :

$x = f_x(x_0,y_0,z_0,t)\,$ $y = f_y(x_0,y_0,z_0,t)\,$ $z = f_z(x_0,y_0,z_0,t)\,$.

Dérivée particulaire

Cette méthode présente un inconvénient : le référentiel se déplace avec le fluide. Il est donc difficile de connaître l'état du fluide en un point donné de l'espace et du temps.

La représentation d'Euler définit à tout instant la valeur d'une grandeur (par exemple une composante de la vitesse) associée à un point fixe de l'écoulement. La variation de cette grandeur au cours du temps est alors décrite par une dérivée partielle parfois appelée dérivée eulérienne.

La représentation de Lagrange suit une particule dans son mouvement. La variation précédente est alors représentée par la dérivée particulaire ou dérivée totale ou dérivée lagrangienne. Elle tient compte non seulement de la variation locale du paramètre au cours du temps mais aussi de la variation de celui-ci liée au déplacement de la particule.

Le lien entre la description lagrangienne et la description eulérienne est démontré ici pour un mouvement à une dimension. Pendant l'intervalle de temps dt, une particule située en x à l'instant t s'est déplacée à x+vdt. La variation de la grandeur f s'écrit donc :

$\mathrm df = f(x+v \mathrm dt,t+\mathrm dt)-f(x,t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x}\right) \mathrm dt.$

En divisant par dt on obtient la dérivée particulaire qui s'écrit avec la notation la plus utilisée :

$\frac{\mathrm D f}{\mathrm D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x}$.

La formule se généralise à trois dimensions en introduisant le gradient de la grandeur f :

$\frac{\mathrm D f}{\mathrm D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf {V}. \mathbf {grad} f$.

Remarques

Dans le cadre de cette description, et ρ désignant la densité du fluide, $\rho(\overrightarrow{x},t)$ désigne la densité du fluide qui, initialement (temps 0), était à la position $\overrightarrow{x}$ et se trouve désormais (temps t) en $\overrightarrow{X}(\overrightarrow{x},t)$... mais cela peut bien sûr s'appliquer à n'importe quelle autre fonction décrivant une propriété locale du fluide.

Cette description donne une bonne idée de ce qui se passe dans le fluide, par exemple, si $\frac{d\rho}{dt}<0$, alors on peut affirmer que le fluide s'étend (la densité de la particule fluide baisse). En particulier, on peut faire un bilan des forces s'appliquant à la particule fluide que l'on suit, et appliquer la relation fondamentale de la dynamique en écrivant que la somme des forces vaut la masse de la particule fluide multipliée par son accélération, écrite comme $\frac{d\overrightarrow{u}}{dt}$ où $\overrightarrow{u} = \frac{d\overrightarrow{X}}{dt}$ est la vitesse.

Notes et références

1. ↑ éléments fluides assez petits pour autoriser l'utilisation des différentielles

Articles liés

• Dynamique des fluides
• Mécanique des milieux continus