Constante De De Bruijn-Newman

Constante de De Bruijn-Newman

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique et est définie par les zéros d'une certaine fonction $H(\lambda,z)\,$ , où $\lambda\,$ est un paramètre réel et z est une variable complexe. H possède seulement des zéros réels si et seulement si $\lambda \ge \Lambda\,$ . La constante est fermement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction $\zeta\,$ générale d'Euler - Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante $\Lambda \le 0\,$ .

De Bruijn en 1950 a montré que $\Lambda \le \frac{1}{2}$ , en accord avec le travail de Newman, qui, le premier a estimé qu'elle serait $\Lambda \ge 0$. De sérieux calculs sur Λ ont été faits depuis 1988 et sont encore faits à l'heure actuelle comme nous le voyons sur cette table :

Années	Borne inférieure de Λ
1988	-50
1991	-5
1990	-0,385
1994	-4,379 · 10 -6
1993	-5,895 · 10 -9
2000	-2,7 · 10 -9

Puisque H(λ,z) est la transformée de Fourier de F(e^λxΦ) alors H a la représentation de Wiener-Hopf :

$\xi (1/2+iz)= A\sqrt \pi (\lambda)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^{2}} H(\lambda , x) dx$

qui est seulement valide pour Lambda positif ou nul, cela peut être vu qu'à la limite lambda tend vers zéro alors H(0,x) = ξ(1 / 2 + ix) pour le cas Lambda négatif alors H est défini ainsi :

$H(z,\lambda)=B\sqrt \pi (\lambda)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^{2}} \xi(1/2+ix) dx$

où A et B sont des constantes réelles.

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