Coefficient de restitution

Coefficient de restitution

En dynamique, le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors de l'étude d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton »[1]. Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Sommaire

Établissement du coefficient

Le coefficient peut prendre des valeurs entre 0 et 1. Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible : les deux particules en interaction se « traverseraient » lors du choc.

La valeur du coefficient de restitution e s'obtient par rapport entre la vitesse restituée Vr et la vitesse initiale Vi :

e=\frac{V_r}{V_i}

On montre aisément que la racine du rapport entre la hauteur d'un rebond hn et la hauteur du rebond précédent hn − 1 donne le même résultat.

e=\sqrt{\frac{h_{n}}{h_{n-1}}}

Collision dans une dimension

Si v est la vitesse finale du système, u la vitesse initiale du système et e le coefficient de restitution, on a simplement v = − eu .

Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos[2], mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia[3]. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de L. Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussion de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous[4].

Solide 1 Solide 2 e
bois bois 1/2
liège liège 5/9
ivoire ivoire 8/9
verre verre 15/16
acier acier 19/20

Collision élastique

Si la collision est élastique, e = 1, et donc v = − u. L'énergie cinétique est conservée.

Exemple  :

Un corps A de masse MA avançant rectilignement à une vitesse u, percute un corps B de masse MB au repos. La collision est élastique, donc e = 1. Soit vA, et vB les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement :

uMA = MAvA + MBvB

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives) :

v_\text{A}-v_\text{B}=-1\times u

On obtient alors les relations :

 {v_\text{A}=u\frac{M_\text{A}-M_\text{B}}{M_\text{A}+M_\text{B}}}
 {v_\text{B}=2u\frac{M_\text{A}}{M_\text{A}+M_\text{B}}}

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'intégralité de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si MA = MB.

Une collision parfaitement élastique ne s'observe jamais au niveau macroscopique. On considère cependant parfois que la collision est élastique quand son coefficient de restitution est très proche de 1. Plus particulièrement, ce sont des matériaux durs qui ne perdent pas d'énergie sous forme de déformation, l'exemple typique étant une collision entre deux billes de billard.

Application : rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum hn après n rebonds : hn = e2nh0h0 est la hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Temps tn après le n rebond et avant le rebond n + 1 : {t_{n}=e^{n}\sqrt{\frac{8h_{0}}{g}}}

A l'aide de la dernière relation, le temps total de rebondissement est :

{T=t_{0}+\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}}

Par une suite géométrique, on trouve finalement :

{T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} }

avec t0 temps avant le premier rebond.

Remarque : Le nombre de rebonds est infini mais T est fini.

Notes et références

  1. Cf. L. Lecornu, Dynamique Appliquée, p. 227.
  2. par exemple ceux de De Laharpe (vol. 1, p. 211) et H. Küchling (table 8, p. 584).
  3. Référence :Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Isaac Newton), Lois du Mouvement, scholie du corollaire VI. Newton donne aussi le coefficient de restitution de « deux pelotes de laines très serrées ».
  4. chap. 7, §110 Choc direct de deux sphères, p.230.
  • Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
  • Léon Lecornu, Dynamique Appliquée (1908), éd. Octave Doin, Paris
  • De Laharpe, Notes et formules de l'ingénieur (20e édition, 1920), éd. Albin Michel, Paris
  • Horst Küchling, Taschenbuch der Physik (7e éd. 1985), éd. Harri Deutsch Verlag, Francfort

Voir aussi

Articles connexes

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