Catégorie monoidale


Catégorie monoidale

Catégorie monoïdale

En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie.

Définition

Une catgéorie monoïdale est une catégorie \mathcal{C} munie :

  • D'un bifoncteur
\otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}

appelé produit tensoriel.

  • D'un objet I appartenant à \mathcal{C} appelé objet unité.
  • D'une transformation naturelle α appelé associateur telle que pour tous objets A,B,C, αA,B,C soit un isomorphisme de (A \otimes B) \otimes C vers A\otimes(B \otimes C). Autrement dit, α est un isomorphisme naturel du foncteur (-\otimes -) \otimes - vers le foncteur -\otimes (- \otimes -).
  • De deux transformations naturelles λ,ρ telles que pour tout objet A, λ et ρ induisent des isomorphismes  \lambda_A: I \otimes A \longrightarrow A et \rho_A: A \otimes I \longrightarrow A.

Les conditions de cohérence pour ces transformations naturelles s'expriment par la commutativité des diagrammes suivants:

Monoidal-category-pentagon.png


Monoidal-category-triangle.png

Exemples

  • Si k est un corps, la catégorie des k-espaces vectoriels munie du produit tensoriel usuel est une catégorie monoïdale.
  • Plus généralement, si R est un anneau commutatif, la catégorie des R-modules munie du produit tensoriel usuel est une catégorie monoïdale.
  • Si A est une algèbre, la catégorie des A-modules n'est pas une catégorie monoïdale en général. Il faut des conditions supplémentaires sur A, par exemple que A soit une algèbre de Hopf.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Cat%C3%A9gorie mono%C3%AFdale ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Catégorie monoidale de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Catégorie monoïdale — En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s agit de l analogue, au niveau des catégories, de la notion de… …   Wikipédia en Français

  • Catégorie monoïdale symétrique — Catégorie monoïdale tressée En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute l analogue de la notion de commutativité. Définition formelle Soit une catégorie monoïdale. On note le… …   Wikipédia en Français

  • Catégorie monoïdale tressée — En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité. Définition formelle Soit une catégorie monoïdale. On note le produit tensoriel opposé à ,… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Tenseur (mathématiques) —  Pour l’article homonyme, voir Tenseur.  Les tenseurs sont des objets mathématiques issus de l algèbre multilinéaire permettant de généraliser les scalaires et les vecteurs. On les rencontre notamment en analyse vectorielle et en… …   Wikipédia en Français

  • Opérade — En algèbre générale, une opérade est une structure algébrique modélisant les propriétés (associativité, commutativité et autres relations) d une algèbre. Intuitivement, les éléments d une opérade correspondent à des opérations à plusieurs entrées …   Wikipédia en Français

  • Opérades — Opérade En algèbre générale, une opérade est une structure algébrique modélisant les propriétés (associativité, commutativité et autres relations) d une algèbre. Intuitivement, les éléments d une opérade correspondent à des opérations à plusieurs …   Wikipédia en Français

  • Algebre de Hopf — Algèbre de Hopf En mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l antipode) qui généralise la notion de passage à l inverse dans un groupe. Ces algèbres ont été… …   Wikipédia en Français

  • Algebre de Hopf quasi-triangulaire — Algèbre de Hopf quasi triangulaire En mathématiques, une algèbre de Hopf H est dite quasi triangulaire s il existe un élément inversible qui vérifie : où  …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.