Milieu d'un segment

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Le milieu d'un segment est le point de ce segment situé à égale distance de ses extrémités.

Symétrie centrale

Article détaillé : Symétrie centrale.

Deux points distincts A et A' sont symétriques par rapport à un point O si et seulement si O est le milieu du segment [AA']. Dans la symétrie centrale de centre O, le symétrique de O est O lui même.

Milieu, médiatrice, plan médiateur

Articles connexes : Médiatrice, Plan médiateur et Construction à la règle et au compas.

L'ensemble des points du plan équidistants de deux points A et B constitue la médiatrice du segment [AB]. Le milieu du segment [AB] peut donc être défini comme l'intersection de la droite (AB) avec la médiatrice du segment [AB]. Cette définition est intéressante, car elle permet de placer le milieu du segment [AB] par une construction à la règle et au compas.

Construction du milieu à la règle et au compas — Soient deux points du plan A et B.

• On construit deux arcs de cercles, de centres respectifs A et B et de même rayon R₁. Soit P₁ leur point d'intersection.
• On construit deux arcs de cercles, de centres respectifs A et B et de même rayon R₂. Soit P₂ leur point d'intersection.
• La droite (P₁P₂) est la médiatrice du segment [AB]. Il suffit de tracer à la règle les droites (P₁P₂) et (AB), leur intersection est le milieu du segment [AB].

Remarques

• Les arcs de cercles doivent avoir des rayons supérieurs à la moitié de la longueur du segment, pour que leur intersection ne soit pas vide.
• Il est en théorie possible de se contenter de la première étape en traçant les cercles en entiers : on obtient alors deux points d'intersection qu'il suffit de relier pour tracer la médiatrice. Cette méthode n'est toutefois pas toujours applicable concrètement, si le segment se trouve trop près du bord de la feuille de tracé par exemple.

Dans l'espace à trois dimensions, le milieu d'un segment est l'intersection de ce segment avec son plan médiateur.

Caractérisation vectorielle

Article connexe : Isobarycentre.

Le milieu d'un segment est l'isobarycentre du système constitué par les deux extrémités du segment, c'est-à-dire : le milieu d'un segment [AB] est le seul point M tel que

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}.$

Cette égalité est équivalente à

$\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$

ou encore à

$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}$

Coordonnées

Article connexe : Coordonnées cartésiennes.

Si le plan (ou l'espace) euclidien est muni d'un repère cartésien, les coordonnées du milieu d'un segment sont les demi-sommes de chacune des coordonnées des extrémités du segment. Autrement dit, dans le plan, le milieu du segment d'extrémités A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. On a une propriété analogue dans l'espace en ajoutant une troisième coordonnée.

Dans un triangle

Article détaillé : Triangle.

Les milieux des trois côtés d'un triangle jouent un rôle important à plusieurs niveaux. Parmi les droites remarquables du triangle, on distingue notamment les médiatrices des côtés et les médianes, qui sont les droites passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

Le théorème des milieux dans un triangle s'énonce ainsi :

Théorème des milieux — Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

La longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Une réciproque de la première assertion du théorème existe :

Théorème — Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Voir aussi

• Théorème des milieux
• Isobarycentre
• Constructions du milieu d'un segment