Repère cartésien


Repère cartésien

Coordonnées cartésiennes

Un système de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d'un point sur une droite, dans un plan ou dans l'espace à condition d'avoir défini un repère cartésien. Il permet aussi de caractériser un vecteur. La notion de coordonnées cartésiennes peut aussi se généraliser à un espace de dimension n. Le mot cartésien vient du mathématicien et philosophe français René Descartes. Il existe d'autres systèmes de coordonnées permettant de repérer un point dans le plan ou dans l'espace

Sommaire

Abscisse sur une droite affine

Sur une droite affine D, un repère est la donnée de :

  • Une origine O, id est un point distingué de D.
  • Un vecteur v de la droite vectorielle directrice \vec D. Ce vecteur porte deux informations :
    • Une orientation : un point A est à droite de O lorsque le vecteur \vec OA est positivement colinéaire à v.
    • Une unité : un point A est à la distance r de O lorsque \vec{OA}=\pm r\cdot v
Repere droite.png

Dans ce cas, l'abscisse du point M est l'unique réel r tel que : \vec{OM}=r\cdot v. Il y a donc une correspondance entre les points d'une droite affine et l'ensemble des réels.

Remarque : Il existe des systèmes de graduation non régulière mais le repère n'est plus appelé cartésien (voir échelle logarithmique).

Coordonnées cartésiennes dans le plan

Dans un plan affine, les coordonnées cartésiennes sont sans doute la manière la plus naturelle de définir un système de coordonnées. Un repère (cartésien) du plan affine P est la donnée conjointe de :

  • un point d'origine O.
  • deux vecteurs i et j non colinéaires du plan vectoriel directeur \vec P.

Les axes de coordonnées sont les droites affines (Ox)=(O,\mathbf{i}) et (Oy)=(O,\mathbf{j}). Ces droites admettent des graduations respectives fournies par O et les vecteurs i et j.

représentation d'un repère dans un plan

Par un point M, on est en droit de tracer :

  • une droite parallèle à (Oy) qui coupe (Ox) en mx d'abscisse x,
  • une droite parallèle à (Ox) qui coupe (Oy) en my d'abscisse y.

Le couple de réels ( x , y ) est uniquement déterminé par le point M, on l'appelle les coordonnées de M dans le repère (O,i,j) ;

  • Le réel x est appelé l'abscisse de M.
  • Le réel y est appelé l'ordonnée de M.

Réciproquement, à tout couple (x,y), correspond un unique point M de coordonnées d'abscisse x et d'ordonnée y. C'est le point d'intersection :

  • De la droite parallèle à (Ox) passant par le point de (Oy) d'abscisse y et
  • De la droite parallèle à (Oy) passant par le point de (Ox) d'abscisse x et

Cette construction peut être interprétée comme la mise en place d'un parallélogramme de sommets O et M.

En termes vectoriels, on obtient l'identité suivante :

\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}

Ce qui permet de faire une correspondance entre le calcul sur des coordonnées et le calcul vectoriel.

Cas du repère orthonormé

Article détaillé : repère orthonormé.

Les repères orthonormés n'ont de sens que dans les plans affines euclidiens. Dans un plan affine euclidien , un repère (O,i,j) est dit orthonormé lorsque les vecteurs i et j sont d'une part de longueur 1 (de norme 1) et d'autre part orthogonaux , c'est-à-dire que le produit scalaire des deux vecteurs est nul.

Autrement dit, les axes de coordonnées sont deux droites affines orthogonales avec le même système de graduation.

Repere orthonorme plan.png

Dans ce cas, on peut calculer des distances et des orthogonalités en utilisant le théorème de Pythagore. Voici un formulaire :

  • Pour un point M d'abscisse (x,y), la distance OM s'écrit :
OM = \sqrt{x^2 + y^2}
Dans le dessin ci-à droite, on a placé dans un repère orthonormé les points A de coordonnées (1,1) et B de coordonnées (4,5). Le calcul de la distance AB est alors :
 AB = \sqrt{ ( 4 - 1 )^2 + ( 5 - 1 )^2 } = 5
  • Les vecteur u( x , y ) et v( X , Y ) sont orthogonaux si et seulement si xX + yY = 0.

Le calcul des distances et des angles étant souvent un objectif de la géométrie plane euclidienne, on privilégie particulièrement les repères orthonormés. À tel point que certains ouvrages réservent le terme de coordonnées cartésiennes à ce type de repère, les autres coordonnées étant appelées coordonnées obliques.

Coordonnées cartésiennes dans l'espace

Le principe de construction sera le même. Dans un espace affine E de dimension 3, un repère (cartésien) est la donnée conjointe de :

Les axes de coordonnées sont les droites affines concourantes (Ox)=(O,i), (Oy)=(O,j) et (Oz)=(O,k).

Repere espace.png

Pour un point M, on est en droit de tracer :

  • un plan parallèle au plan (Oyz) qui coupe (Ox) en mx d'abscisse x,
  • un plan parallèle au plan (Oxz) qui coupe (Oy) en my d'abscisse y,
  • un plan parallèle au plan (Oxy) qui coupe (Oz) en mz d'abscisse z.

Le triplet de réels (x,y,z) est uniquement déterminé par la position du point M. Il s'appelle les coordonnées (cartésiennes) de M dans le repère (O,i,j,k) :

  • le réel x s'appelle l'abscisse.
  • le réel y s'appelle l'ordonnée ou la profondeur.
  • le réel z s'appelle la cote ou la hauteur.

Réciproquement, à tout triplet de réels (x,y,z) correspond un unique point M d'abscisse x, d'ordonnée y et de cote z. Ce point s'obtient comme l'intersection :

  • du plan parallèle au plan (Oyz) passant par le point de (Ox) d'abscisse x,
  • du plan parallèle au plan (Oxz) passant par le point de (Oy) d'abscisse y et
  • du plan parallèle au plan (Oxy) passant par le point de (Oz) d'abscisse z.

Ces trois plans ainsi que les trois plans de bases (Oxy), (Oxz) et (Oyz) dessinent un parallélépipède.

Il y a correspondance biunivoque entre tout point M et tout triplet de réels appelés alors système de coordonnées de M.

De même que dans le plan, ces coordonnées se réinterprètent via l'écriture vectorielle :

\overrightarrow{OM} = x\vec{i}+y\vec{j} + z\vec{k}

Repères orthonormés

Article détaillé : repère orthonormé.
Repere orthonorme espace.png

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, un repère (O,i,j, k)) est dit orthonormé lorsque les vecteurs i, j, et k sont unitaires et deux à deux orthogonaux. Cette deuxième condition s'écrit :

\langle\mathbf{i}\mid\mathbf{j}\rangle=0  ;  \langle\mathbf{j}\mid\mathbf{k}\rangle=0  ;  \langle\mathbf{k}\mid\mathbf{i}\rangle=0

Comme dans le plan, il sera nécessaire de prendre un repère orthonormé si l'on désire travailler sur des distances et des angles. La distance s'écrira alors:

OM = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Coordonnées cartésiennes en dimension n

Les observations précédentes permettent de remarquer un lien entre couple ou triplet de réels et vecteurs du plan ou de l'espace. Ce lien se généralise à tout espace vectoriel ou affine de dimension finie sur un corps K.

Si (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}) est une base d'un espace vectoriel sur un corps K alors, pour tout vecteur \vec{v}, il existe un unique n-uplet (x_1, x_2, \dots,x_n) \, élément de Kn  tel que :

\vec{v} = x_1\vec{e_1}+ x_2 \vec{e_2}+\dots +x_n\vec{e_n} \, .

Ce n-uplet est appelé système de cordonnées cartésiennes du vecteur \vec{v} dans la base (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}). La correspondance entre chaque vecteur et chaque n-uplet permet de construire un isomorphisme d'espace vectoriel entre V et Kn.

Pour travailler sur des systèmes de coordonnées de points, il suffit d'ajouter à la base précédente un point O appelé origine. Les coordonnées du point M étant celles du vecteur \overrightarrow{OM}.

Enfin, pour travailler sur des distances, il sera nécessaire de construire une base orthonormale (dans laquelle tous les vecteurs sont de norme 1 et chaque vecteur est orthogonal à tous les autres) . La distance OM s'exprimera alors sous la forme suivante:

 OM = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} \,

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération sont données par :

\begin{align}
\overrightarrow {OM} &=x\overrightarrow{u_x} + y\overrightarrow{u_y} + z\overrightarrow{u_z}\\
\overrightarrow \dot{OM} &=\dot x\overrightarrow{u_x} + \dot y\overrightarrow{u_y} + \dot z\overrightarrow{u_z}\\
\overrightarrow \ddot{OM} &=\ddot x\overrightarrow{u_x} + \ddot y\overrightarrow{u_y} + \ddot z\overrightarrow{u_z}\\
\end{align}

Voir aussi

Articles connexes

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