Mesure extérieure

La notion de mesure extérieure (ou mesure extérieure au sens de Carathéodory) est un concept, dû au mathématicien Constantin Carathéodory, qui généralise dans un cadre axiomatique une construction utilisée par Henri Lebesgue pour définir la mesure de Lebesgue des parties Lebesgue-mesurables de la droite réelle.

Définition

Soit X un ensemble. Une mesure extérieure sur X est une fonction définie sur l'ensemble de toutes les parties de X :

$\varphi: {\mathcal P}(X) \rightarrow [0, +\infty]$

qui vérifie les trois conditions suivantes :

• L'ensemble vide est de mesure extérieure nulle :

$\varphi(\varnothing) = 0$

• Monotonie : Pour toutes parties A et B de X,

$A\subset B\quad\Rightarrow\quad\varphi(A) \leq \varphi(B).$

• Sous-additivité dénombrable : Pour toute suite $(A_j)_{j\geq1}$ de parties de X,

$\varphi\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \varphi(A_j).$

Référence

Vladimir Bogachev, Measure Theory, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-34513-8) , p. 41