Theorie de la mesure

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Théorie de la mesure

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La théorie de la mesure, aussi appelée théorie de Lebesgue de l'intégration, est une théorie de l'intégration initiée par les travaux de Lebesgue.

Sommaire

Histoire

En 1894, Émile Borel énonce la première définition d'ensemble négligeable. En 1897, il définit les ensembles mesurables. En 1901, Lebesgue introduit la notion de mesure. La théorie se développe jusque dans les années 1950. Kolmogorov proposera une axiomatisation du calcul des probabilités basée notamment sur l'intégrale définie à partir d'une mesure.

Intégration selon une mesure

Lebesgue et ses successeurs ont été amenés à généraliser la notion d'intégrale au point d'en faire ce que certains appellent une intégrale abstraite. L'aire sous une courbe est calculée par une somme de petits rectangles dont la hauteur représente la valeur moyenne de la fonction sur un intervalle et la base la mesure de l'intervalle. Sur une droite réelle, la mesure de Lebesgue d'un intervalle n'est rien d'autre que la différence des distances par rapport à l'origine. Mais une mesure est une fonction, et cela a donc amené les mathématiciens de l'époque à généraliser l'intégrale non plus selon une mesure particulière, celle de Lebesgue, mais selon n'importe quelle mesure. C'est comme si pour mesurer un intervalle on utilisait un abaque (mesures discrètes) ou tout autre instrument plutôt qu'un mètre-ruban.

Définition

Soit (\Omega,\mathcal{E},\mu) un espace mesuré.

Une intégrale selon une mesure s'écrit :

\displaystyle \int_{\Omega}f d(\mu(x))

Mesure à densité

Lorsque la mesure représente l'intégrale d'une fonction, on parle de mesure à densité :

\displaystyle \nu(A) =\int_{\Omega}g d\mu(A)

Théorème fondamental

Si la mesure selon laquelle on intègre est une mesure à densité, alors nous pouvons exprimer l'intégrale de la manière suivante :

\displaystyle \int_\Omega f d(\nu(A)) =\int_{\Omega}f g d\mu(A)

Voir aussi

Bibliographie

  • Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
  • A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Paris, 1992.
  • Jean-Pascal Ansel , Yves Ducel , Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration , Ellipses 1995 , ISBN 2-7298-9550-7.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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