Clôture parfaite

En mathématiques et plus précisément dans la théorie des extensions de corps, la clôture parfaite d'un corps est grosso modo une extension algébrique parfaite minimale.

Définition

Soit K un corps (commutatif). Une clôture parfaite L de K est une extension algébrique de K telle que

• L est un corps parfait et
• pour toute extension F / K avec F parfait, il existe un unique homomorphisme de K-extensions $L\to F$.

Notons que si une clôture parfaite existe, elle sera unique à isomorphisme unique près. Si K est lui-même parfait, alors il est sa propre clôture parfaite.

Existence

Une clôture parfaite de K existe et est unique à isomorphisme unique près.

En effet, on peut supposer K non-parfait (donc de caractéristique p > 0). Fixons une clôture algébrique Ω de K. Soit L l'ensemble des éléments radiciels de Ω sur K. On sait que c'est une extension algébrique radicielle de K. Montrons que c'est une clôture parfaite.

• D'abord L est parfait: tout élément x de L est une puissance y^p avec $y\in \Omega$. Il suit que y est radiciel sur K puisque x l'est. Donc $y\in L$. Donc L est parfait.

• Soit F / K est une extension avec F un corps parfait. Pour tout $a\in L$, il existe $n\in\mathbb N$ tel que $a^{p^n}=\alpha\in K$. Comme F est parfait, il existe un unique $b\in F$ tel que $b^{p^n}=\alpha$. On vérifie aisément que la correspondance $a\mapsto b$ établit un homomorphisme de K-extensions $L\to F$. De plus pour tout homomorphisme $\phi: L\to F$ de K-extensions, $\phi(a)^{p^n}=\phi(\alpha)=\alpha=b^{p^n}$, donc ϕ(a) = b. Ce qui prouve l'unicité.

La clôture parfaite est aussi appelée clôture radicielle, ce qui est cohérent avec les propriétés ci-dessus. Elle est notée $K^{p^{-\infty}}$.

Critère de séparabilité de MacLane

Soit K un corps de caractéristique p > 0. Soit $K^{p^{-\infty}}$ sa clôture parfaite dans une clôture algébrique Ω de K. Alors une sous-extension E de Ω / K est séparable si et seulement elle est linéairement disjointe avec $K^{p^{-\infty}}$ sur K.

Références bibliographiques

N. Bourbaki: Algèbre, (Chapitre V), Masson, 1981.