Variété de Banach


Variété de Banach

En topologie et en géométrie différentielle, une variété de Banach ou variété banachique est une généralisation en dimension infinie des concepts de variété topologique et de variété différentielle. Une variété de Banach est ainsi un espace topologique localement homéomorphe à un espace de Banach.

Définition

Soit \displaystyle E un espace de Banach réel et \displaystyle X un espace topologique supposé séparé et à base dénombrable. Alors \displaystyle X est une variété de Banach s’il satisfait les conditions suivantes :

  1. \displaystyle X possède un recouvrement d’ouverts \displaystyle \{U_i\} à chacun desquels est associé un homéomorphisme à valeurs dans \displaystyle E, soit \varphi_i:U_i\rightarrow \varphi_i(U_i)\subset E. Un couple \displaystyle (U_i,\varphi_i) est une carte locale et l’ensemble des cartes associées au recouvrement constitue un atlas.
  2. Au sein de l’atlas, toutes les applications de changement de cartes
\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}:\varphi_j(U_i\cap U_j)\rightarrow \varphi_i(U_i\cap U_j) sont des homéomorphismes.


Pour k > 0 entier, on parlera de k-variété de Banach si les homéomorphismes des cartes et ceux des changement de cartes sont des difféomorphismes de classe Ck.

Structure

Deux atlas sont dits compatibles si la réunion de leurs cartes locales respectives satisfait encore les propriétés précédentes. La compatibilité étant une relation d'équivalence entre les atlas, il existe au sein d’une classe un atlas dit maximal défini par la réunion de toutes les cartes de tous les atlas de la classe. Ce dernier induit sur \displaystyle X une structure qui est ainsi caractérisée de manière univoque.

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