Espace a base denombrable

Espace a base denombrable

Espace à base dénombrable

Un espace topologique est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. Tout sous-espace d'un espace à base dénombrable et tout produit dénombrable d'espaces à base dénombrable sont eux-mêmes à base dénombrable ; d'autre part tout espace métrisable séparable est à base dénombrable. Ainsi, tous les espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable.

Tous les espaces topologiques considérés par la suite sont tacitement supposés séparés. On a dit plus haut que tout espace métrisable est à base dénombrable. Réciproquement un théorème d'Urysohn affirme qu'un espace régulier à base dénombrable est métrisable. En particulier un espace compact est à base dénombrable si et seulement s'il est métrisable (par contre, il existe des espaces compacts séparables non métrisables ; voir espace séparable).

Tout espace à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace du cube de Hilbert et tout espace à base dénombrable totalement discontinu (on dit aussi de dimension 0) est homéomorphe à un sous-espace de l'espace de Cantor.

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