Valeur efficace


Valeur efficace

La valeur efficace (dite aussi valeur RMS, de l'anglais Root Mean Square, ou moyenne quadratique) d'un signal périodique ou d'un signal aléatoire ergodique, est la racine carré du moment d'ordre deux du signal :


x_\mathrm{efficace} = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {x}^2(t)\, dt}}

En électricité, la valeur efficace d’un courant ou d'une tension, variables au cours du temps, correspond à la valeur du courant continu ou de la tension continue produisant un échauffement identique dans une résistance. Cette valeur efficace ne peut être calculée que si ce courant ou cette tension sont des grandeurs périodiques.

Sommaire

Définitions

Valeur efficace d'un courant

Elle est notée I.

  • Physiquement, c'est l’intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance que i(t) à travers une résistance, soit telle que  R\cdot I^2 = \overline{R\cdot i^2}.
  • Mathématiquement, c'est la racine carrée de la moyenne du carré de l'intensité calculée sur une période T : c'est la norme L2 définie sur l'espace de fonctions périodiques, ayant la période en question. D'où la dénomination anglaise : R.M.S qui signifie Root Mean Square, soit « racine de la moyenne du carré ».

La valeur efficace de l'intensité i(t) d'un courant variable de période T se calcule quel que soit t0 par :

 \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t_0}^{t_0+T} i^2(t) \,\mathrm dt}

Valeur efficace d'une tension

Elle est notée V.

  • Physiquement, c'est la valeur de la tension continue qui provoquerait une même dissipation de puissance que u(t) si elle était appliquée aux bornes d'une résistance.
  • Mathématiquement, elle se calcule par :
 \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}^{t+T} u^2(t) \,\mathrm dt}

Cas particulier des régimes sinusoïdaux

Pour les régimes sinusoïdaux de tension et de courant (u(t) = Vmaxsin(t)), on peut montrer que la valeur efficace est égale à la valeur de crête (valeur maximale, Vmax) divisée par la racine carrée de deux :

V_{\rm eff} = \frac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}

L'explication mathématique réside dans le calcul de l'intégrale suivante :

V_{\rm eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}^{t+T} u^2(t) \,\mathrm dt} = \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi} u^2(\theta) \,\mathrm d\theta} = \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot V^2_{\rm max} \cdot \int_{0}^{2 \pi} \sin^2 \theta \,\mathrm d\theta}.

Sachant que \textstyle\int_0^{2 \pi} \sin^2 \theta \,\mathrm d \theta = \pi, il vient V_{\rm eff} = \sqrt{\tfrac{V^2_{\rm max}}{2}} = \tfrac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}.

Remarques

  • La valeur efficace est toujours supérieure ou égale à la valeur absolue de la valeur moyenne : U ≥ |Ū| et I ≥ |Ī|
  • Une grandeur g(t) et la valeur absolue de cette grandeur | g(t) | ont la même valeur efficace.
  • Certaines personnes emploient le terme valeur RMS, de l'anglais Root Mean Square : « racine de la moyenne des carrés ».

Mesures des valeurs efficaces

Les appareils qui mesurent l'intensité des courants électriques se nomment ampèremètres et ceux qui mesurent les tensions se nomment voltmètres. La mesure des valeurs efficaces a toujours été plus difficile donc plus coûteuse que la mesure des valeurs moyennes.

On peut décomposer les appareils capables de mesurer les valeurs efficaces en trois familles :

Les appareils analogiques utilisant l'électromagnétisme

D'une manière générale, la bande passante de ce type d'appareil est toujours limitée à quelques centaines de hertz.

Les appareils ferromagnétiques

Ou à fer mobile.

Un champ magnétique est créé par un courant image de la grandeur (courant ou tension) à mesurer. Sous l'influence de ce champ magnétique, deux palettes en fer doux se repoussent avec une force dont l'intensité dépend de la valeur moyenne du carré du champ donc de la valeur efficace de la grandeur à mesurer.

Les appareils électrodynamiques

C'est le principe utilisé dans les wattmètres analogiques.

Une bobine fixe traversée par un courant i1 crée le champ magnétique. Une autre bobine, mobile celle là, est traversée par un courant i2. Dans le cas des wattmètres, l'un des courants (bobine fixe) est l'image de l'intensité traversant le dipôle, l'autre (bobine mobile) est l'image de la tension à ses bornes. La mesure finale de puissance efficace donnée par le wattmètre est proportionnelle à la tension et au courant efficaces ainsi mesurés.

Mais si ces courants sont proportionnels à la même grandeur (tension ou courant), la déviation obtenue dépend de la valeur efficace de cette grandeur.

Souvent les appareils de ce type peuvent être utilisés en wattmètre, en voltmètre ou en ampèremètre.

Les appareils électrostatiques

Ces appareils étaient toujours destinés à la mesure en haute tension. Ils utilisaient les forces de répulsions s'exerçant entre des pièces mobiles soumises à des différence de potentiels de même signe.

Les appareils analogiques utilisant les phénomènes électrothermiques

Les appareils électrothermiques sont constitués d'un fil dont on mesure l'allongement par échauffement. Ce fil est une résistance pure et l'allongement est donc lié directement à la valeur efficace du courant qui le parcourt, le fil s'échauffe de la même façon que s'il était parcouru par un courant continu égal à cette valeur. De plus, comme il s'agit d'une résistance pure, il n'est pas influencé par la fréquence du courant alternatif. Leur principal « défaut » est qu'ils sont lents. Les phénomènes thermiques demandent du temps.

Cette inertie thermique entraîne une « lenteur de réaction » de l'appareil de mesure, ce qui devient un avantage pour les mesures de phénomènes à variation lente. Par exemple, ce principe est utilisé‚ en automobile ou moto, dans les jauges à carburant : cela évite que l'aiguille du réservoir indique un niveau changeant au gré des virages, des accélérations, des freinages, des montées et descentes...

Les appareils numériques

On nomme voltmètre ou ampèremètre RMS ou TRMS des appareils numériques qui mesurent effectivement la valeur efficace et non pas la valeur moyenne de la valeur absolue multipliée par un coefficient comme le font les voltmètres numériques bas de gamme.

Liens externes

Cours sur 4 instruments de mesure de l'institut Don Bosco de Tournai (3 pages au format pdf).


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