Théorèmes de point fixe

En analyse, un théorème de point fixe est un résultat qui permet d'affirmer qu'une fonction f admet sous certaines conditions un point fixe. Ces théorèmes se révèlent être des outils très utiles en mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles. Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe. Très différent, le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif : il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver.

Par exemple, la fonction cosinus définie de l'intervalle [-1;1] (boule fermée de l'espace euclidien à une dimension) sur lui-même, est continue : elle doit donc y posséder un point fixe (qui vaut approximativement x=0,74 et correspondant à la solution de l'équation x=cos(x)).

Le théorème du point fixe de Lefschetz (en) est très important en topologie algébrique car il permet, d'une certaine manière, de trouver un moyen de compter les points fixes.

Le théorème de Knaster-Tarski est un théorème de point fixe pour une application monotone d'un treillis complet dans lui-même ; il figure parmi les exceptions qui, contrairement aux précédents, ne concernent pas une fonction continue ; en revanche, il est très intéressant dans les manipulations de structures d'ordre.

Liste de théorèmes de points fixes

Les théorèmes de points fixes sont nombreux, en voici quelques-uns.

• Théorème du point fixe de Banach, également attribué au mathématicien français Émile Picard.
• Théorème de Knaster-Tarski
• Théorème du point fixe de Brouwer
• Théorème du point fixe de Schauder
• Théorème du point fixe de Lefschetz (en)
• Théorème du point fixe de Markov-Kakutani (en)
• Théorème du point fixe de Ryll-Narzewski (en)
• Théorème du point fixe de Kleene
• Théorème du point fixe de Caristi (en)
• Lemme de Sperner