Théorème de Wolstenholme

Le théorème de Wolstenholme, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme, énonce que pour tout nombre premier $p\ge 5$,

${{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}.$

La congruence analogue modulo p² avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il démontre d'abord que le numérateur de $1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1{p-1}$ est multiple de p², en déduit que le numérateur de $1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{(p-1)^2}$ est multiple de p, puis déduit son théorème de ces deux résultats.

Références

• (en) J. Wolstenholme, « On certain properties of prime numbers », dans The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 5, 1862, p. 35–39 [texte intégral] 
• (en) C. Babbage, « Demonstration of a theorem relating to prime numbers », dans The Edinburgh philosophical journal, vol. 1, 1819, p. 46–49 [texte intégral] 

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Nombre de Wolstenholme